从退化黎曼曲面出发的调和映射和共形浸入映射研究

The study on blow up analysis during the convergence process of harmonic map and conformal immersion sequences from degenerating surfaces is important in Geometry and Analysis.In the case which Riemann surface is fixed, the energy identity holds and there is no neck.But,when the conformal structures on a Riemann surface is degenerating, whether the energy identity holds and there is no neck? In this program, we study these problems.We are concerned with the following problems:(1)for the convergence behavior of the map sequence from degeratating Riemann surfaces with uniformly bounded energy and bounded L2-norm of tension field, if the bubbling phenomenon does occur,how about the energy identity and bubbles; (2)To show that the formation of bubbles is characterised by the local excess of the curvature on the target manifold for harmonic maps from degenerating Riemann surfaces;(3) How about the energy identity and bubbles for a sequence of conformal immersion maps from degenerating surfaces.

从黎曼曲面出发的一列调和映射和共形浸入映射收敛性研究中的爆破分析在几何和分析上都有着重要的意义。当黎曼曲面固定时，这几类映射列在爆破后，能量等一些量具有守恒性，并且没有脖子(neck)。那么，当黎曼曲面的共形结构发生退化时，这些量是否仍然守恒以及脖子(neck)的状况又如何了？本项目中，我们拟对这些问题展开研究。主要研究内容如下：(1)从退化黎曼曲面出发的能量和张量场L2范数都一致有界的一列映射，在收敛过程中发生爆破后，能量恒等式和脖子(neck)的分析；(2)从退化黎曼曲面出发的一列调和映射在收敛过程中爆破的发生与靶流形曲率之间的关系；(3)从退化黎曼曲面出发的共形浸入映射，在收敛过程中发生爆破后，全高斯曲率恒等式和脖子(neck)的分析。

调和映射中的爆破分析，调和微分同胚以及相关问题在几何和分析上都有着重要的意义。本项目对这些方向研究得到如下结果：(1) 建立了退化黎曼曲面出发的一列共形浸入映射在收敛性过程中的全Gauss 曲率恒等式和像集测度的恒等式。(2) 证明了环面上旋转对称调和微分同胚的一些存在性和非存在性的结果。(3) 发现了4维环面之间高阶调和微分同胚的Nitsche型现象。研究了与高阶调和映射相对应的高阶能量的极小子问题，给出了4维环面微分同胚的高阶能量的极小子存在的充要条件。(4) 研究高阶Ricci流，得到了4维情形的短时间存在性，以及发现了一个类似Ricci流的雪茄孤子。