Hilbert模的局部化，表示及相关几何分析

The Hilbert module，initiated by Douglas and Paulsen from the view of commutative algebra, is a fundamental framework for the study of modern multi-variable operator theory. Localization and resolution as basic tools in algebra are important in the study of properties and classifications of Hilbert modules. Based on the complex geometry approach of Cowen- Douglas theory, we study localization and geometric invariants of an important class of Hilbert modules called quasi-free Hilbert modules and apply our theory to related problems in the classification of analytic Hilbert modules. For more general Hilbert modules, we will study the unitary equivalence and similarity problems via resolutions by quasi-free Hilbert modules, and exhibit connections between the theory of resolutions and important topics in vector-valued function spaces such as fiber dimension, operator corona problem, and commutant lifting theory.

Douglas, Paulsen等数学家从交换代数的观点出发，创立了Hilbert模这一现代多元算子理论的基本框架。 局部化和表示作为源于代数的基本方法，对于研究Hilbert模的性质和分类具有重要的意义。本项目拟基于Cowen-Douglas理论，结合复几何的方法系统研究定义在高维复空间区域上的一类重要的Hilbert模——拟自由Hilbert模的局部化及其几何不变量，并将其应用于解析Hilbert模的相关分类问题。在此基础上，本项目拟通过由拟自由Hilbert模给出的表示, 研究更一般的Hilbert模的酉等价和相似分类问题，并揭示表示理论与纤维维数，算子corona问题，换位提升理论等向量值解析函数空间上重要课题的联系。

本项目按照研究计划，研究了拟自由Hilbert模在解析子流形上的局部化，局部化模的解析分类理论，Specht型不变量，Hilbert模的“局部——整体”判别法则等重要课题。研究成果包括 1分别利用Cowen-Douglas丛的曲率相对于解析簇的切向分量，横截分量，及混合型分量给出了局部化酉等价的完全几何分类； 2利用正规标架的度量度量函数及其各阶导数在解析簇上的限制给出了局部化酉等价的充要条件，并以此获得了拟自由Hilberrt模在解析簇上的Taylor Expansion定理；3将Specht关于有限矩阵的数值不变量推广至算子值，并应用其给出了局部化模的分类理论，对逐点高阶局部化给出了酉等价的Specht型判别法则，并在局部化阶数为二的情况下给出了此不变量与曲率的关系；4利用推广的Specht型不变量给出了基于1阶局部化的酉等价判别法则，改进了著名数学家Cowen与Douglas在经典论文“Complex geometry and operator theory"中的重要结果。本项目首次建立了Hilbert模在解析子流形上的非平凡局部化理论，且体现了更为显著的复几何特征，并通过对于Specht型不变量的研究，成功的将几何理论反馈于算子理论本身。这些工作成功实现了项目研究计划，是在多变量背景下对Cowen-Douglas理论的本质性发展和推进。