多稳态随机系统P-分岔分析方法及参数影响研究

P-bifurcation is one typical type of bifurcation among stochastic bifurcations, which has attracted wide attention of many researchers. However, due to inadequate rigorous mathematical description of bifurcation condition, there are few theoretical and numerical analysis of this problem. This project proposes a mathematical description of the stochastic P-bifurcation based on existed results. General formula of the explicit parameter conditions is deduced by using the singularity method of constrained bifurcations. Meanwhile, the current project reveals possible classification of the P-bifurcation. Theoretical achivements would serve as the foundation for both theoretical and numerical researches in the future. Two typical systems, i.e., the van der Pol-Duffing system and the nystagmus system are studied to explore the mechanism and engineering application of P-bifurcation. The influence of structural and excitation parameters over stohcastic P-bifurcation are discussed through the analysis of multi-stable van der Pol-Duffin system. The study on nystagmus system is able to provide direct guidance for the clinical treatment plan.

P-分岔是随机分岔现象的重要形式之一，得到研究人员的广泛关注。由于对分岔条件缺乏严格的数学描述，不论在理论和数值分析方面都缺少系统性工作。本项目拟在总结现有成果的基础上，借助确定系统约束分岔分析的奇异性理论和方法，给出P-分岔条件的数学描述，推导P-分岔参数条件的通用表达式，揭示P-分岔的分类形式，以期为后续P-分岔的理论和数值分析奠定基础。然后，通过对随机激励下多稳态van der Pol-Duffing系统的分析，揭示系统结构参数、激励参数对随机P-分岔的影响规律。通过对眼颤系统的随机P-分岔分析，为治病机理和临床治疗方案的制定提供了直接指导。为进一步探索随机P-分岔的工程应用奠定基础。

具有稳定平衡点和极限环共存现象的多稳态系统，广泛存在于不同类型的工程问题，比如高速飞行器的颤振问题、高速列车的蛇形运动失稳、海洋结构流固耦合失稳等等。因此，深入探索这类系统在外部或内部随机因素作用下的响应规律，具有重要理论意义和潜在的工程应用价值。. 为分析高维工程非线性系统的随机P-分岔现象，将中心流形思想和随机平均法思想结合，提出降维随机平均法，并导出了系统稳态幅值概率密度的近似表达式，以及随机P-分岔条件的一般公式。由此可方便地分析系统参数对随机分岔行为的影响。. 为研究工程中出现的强非线性阻尼的影响，引入了含九次非线性阻尼的的广义van der Pol系统。找到4类含三稳态的确定性分岔，并导出了对应的随机P-分岔图。根据normal form理论，该结果完整描述了光滑非线性系统的三稳态行为的各种可能。讨论了线性及非线性阻尼系数、噪声强度、循环噪声时滞等参数对系统P分岔、相干共振的影响。开展了电路随机动力学实验，定性验证了理论结果。. 机翼颤振是一类典型的气弹非线性现象。以高斯白噪声表示气体作用力的随机成分，建立了机翼颤振的11维随机动力学模型。分析了加性、乘性噪声激励下，机翼颤振的随机P-分岔行为，揭示了多种随机响应的随机动力学机制。. 眼球震颤是一种较为典型的眼科疾病。以高斯白噪声表示神经噪声影响，提出了眼球震颤的随机动力学模型，详细分析了噪声强度、噪声部位的影响，揭示了间歇性眼球震颤行为的随机动力学机制，并给出了药物抑制此类行为的建议。. 管道涡激振动是深海油气开发面临的关键问题之一。针对系统中存在的两类双稳态现象，分析了随机因素对涡激振动的影响，发现随机激励能提前诱导出管道的涡激共振行为。对涡激共振的控制有重要指导作用。