随机微分方程弱逼近理论及应用

We will investigate weak convergence and weak convergence rate of numerical methods for stochastic ordinary differential equations (SODEs) with non-globally Lipschitz continuous coefficients and establish a fundamental theorem of weak convergence. For SODEs with non-globally Lipschitz continuous coefficients and discontinuous payoff functions, we will study the best match between the numerical discretization scheme and the multilevel Monte Carlo (MLMC) simulation so as to reduce the computational complexity of financial derivatives price etc and improve the globally conputational efficiency. We will derive new relationship between the weak approximation methods for SODEs and the modified equations and investigate the long-time behavior of the numerical solutions via the backward error analysis. We will propose numerical methods with higher weak convergence rate in time for stochastic partial differential equations (SPDEs) so as to match the order in time well with the order in space and improve the globally computational efficiency for solving SPDEs. For SPDEs driven by small noise, we will design weak approximation methods with higher accuracy and estimate exactly the global error bound which includes the small noise. This project aims at building the related theory of weak approximation methods for stochastic differential equations. The theory will be applied to financial derivatives pricing and the related areas. The results obtained in this project have important significance in theory and wide range applications in many areas .

研究非全局Lipschitz条件下随机常微分方程(SODE)数值方法的弱收敛性和弱收敛阶，建立弱收敛基本定理；对非全局Lipschitz系数的SODE及不连续支付(payoff)函数，研究数值离散格式与多重Monte Carlo模拟之间的最佳匹配，以降低金融衍生品价格等问题的计算复杂度，提高整体计算效率；对乘性噪声驱动的SODE，建立弱逼近格式与修正方程之间的新型关系，用向后误差分析方法研究弱逼近格式的长时间性态；构造弱收敛阶更高的随机偏微分方程(SPDE)时间离散格式，使得时间方向与空间方向的精度更加匹配，从而提高数值求解SPDE的整体效率；针对小噪声驱动的SPDE，设计高精度的弱数值格式并从理论上给出较精准的含小参数的整体误差界。本项目旨为随机微分方程弱数值逼近建立相关理论基础，将应用于金融衍生品定价及相关领域，所获结果具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

本项目主要研究非全局Lipschitz条件下非线性随机微分方程数值方法的收敛性及收敛阶，包括弱收敛性和强收敛性分析。所研究的问题类包括随机常微分方程、随机偏微分方程和一些具有代表性的金融数学模型。..对系数呈超线性增长且受Levy过程驱动的随机微分方程，建立了一般单步方法的基本收敛性定理，即由局部截断误差导出整体收敛阶，可用来分析一般单步方法的收敛性，获得了我们提出的两个显式方法的均方收敛阶。证明了Levy过程驱动的随机微分方程向后Euler方法是均方收敛的，若系数具有适当的光滑性，则收敛阶可以恢复到1/2。对系数不满足全局Lipschitz条件的随机微分方程，提出了驯服Runge-Kutta方法，其强收敛阶为1，但避免了同阶Milstein方法的求导运算，是一个高阶高效的显式方法。 对系数满足耦合单调条件的非线性随机微分方程，研究线性θ方法的收敛性，直接从分析局部截断误差入手，获得了求解三类问题的最佳收敛阶，不涉及数值解高阶矩的估计，在收敛性分析中迈出了非常重要的一步，对后续研究具有潜在的积极影响。该项目还研究了金融数学中一些具有代表性的模型(如CIR、CEV等)的数值收敛性和保正性，为金融数学模型的高效数值仿真提供理论支持。..对可加噪声驱动的半线性强阻尼随机波方程，用半群理论研究适度解的存在唯一性和空时正则性， 尽可能地应用方程本身的正则性来获得空间半离散格式和时空全离散格式的最优收敛阶，即使原方程速度分量正则性低，仍然能确保时间方向是高阶收敛的。对可加噪声驱动的随机Allen-Cahn方程，通过引入两个辅助近似过程，将数值误差相应分解成两部分，从而成功地获得了空间半离散格式和时空全离散格式的强收敛率，同时也揭示了收敛率与噪声正则性之间的内在关系。对一类非线性随机偏微分方程，证明了在适当条件下一类新型Euler型方法能保持真解的指数可积性，为构造和分析指数可积性方法探索出新的途径。数值方法的收敛性研究还拓展到分数布朗运动驱动的非线性随机偏微分方程。上述有关随机偏微分方程数值收敛性的原创性工作将有助于进一步推进该领域的理论研究。