从初边值问题到双曲方程的低维表示

In this program, the initial-boundary value problems for two kinds of equations (time-dependent equations with dissipation mechanisms and hyperbolic equations) in multi-dimensional space will be studied. For deep understanding of interactions between boundary and other mechanisms such as dissipation and so on, we try to get the pointwise structure of the solutions. For initial-boundary value problem of equations with dissipation, we focus on the establishment of the Green's function method for multi-dimension case which will be a great improvement of that for 1-d case; while for the initial-boundary value problem of hyperbolic equations, we are far more interested in the precise description for the restrictions of hyperbolic waves on low dimensional manifolds which will play an important role in hot problems arising in mathematics and the real world. In this program, we will not only improve the recent techniques, but also design new methodologies for the difficulities we will meet.

在本项目中，我们将主要考虑两类方程（带耗散机制的发展方程、双曲方程）在高维情形时的初边值问题。为了更好地了解边界在整个问题中起到的举足轻重的作用，弄清不同机制对于解的影响，我们延续之前的研究，试图获得解的逐点估计。对于前一类方程，侧重点在于改进我们现有的用以处理一维具耗散边界条件问题的Green函数方法，以获取高维情形时系统的处理初边值问题的方法；而对于后一类方程（双曲方程），我们更大的兴趣是在边界上波的传播状况，这一清晰的刻画无论从数学分析的角度来看还是对一些实际热点问题（如地震）都将起到重要作用。在本项目的研究中，我们不仅将对现有工具进一步改进，更将针对问题的具体难点创建一些新的工具和方法。

高维初边值问题在偏微分方程中是基础又应用广泛的一类问题。初边值问题Green函数的建立由于边界的存在是非常困难的。在本项目中，我们主要研究了以波动方程为代表的双曲模型和以Navier－Stokes方程和带阻尼项的Euler方程为代表的耗散模型的半平面问题。对于前者，针对各种边界条件和背景速度，通过我们创立的特征根特征分解、重整引理、消去律等方法，将初边值问题彻底分解成初值问题和表面波算子的相互作用，建立了初边值问题Green函数，这一方法加深了对初边值问题的认识，也为一般的Green 函数方法的创立奠定了基础。对于后者，我们针对大规模方程的特点，对初边值问题的研究再一次进行革新，通过稳定流形的引入，跳过边界完整数据的构造，直接给出初边值问题在变换空间中的表达式，初步建立了改进的“微分方程”方法，对边界波带来的影响有了更确切的描述和认知。作为副产品，我们还对基本解的构造进行了改进，建立了针对一般方程的“奇异分割”程序，给出了基本解（特别是奇异部分）的更精细描述。总的说来，本人基本完成了预定目标。在本项目研究中取得的成果和建立起的一般方法，将有助于建立初边值问题Green函数方法的一般体系。