拟线性退化抛物-双曲型方程(组)的初边值问题

Quasi-linear degenerate parabolic-hyperbolic equation is an important kind of mixed-type nonlinear partial differential equations, which has a wide range of applications in multiphase flow, the pollutant migration process and so on. The main feature of this equation is that the type of equation depends on the solution itself, totally different from the non-degenerate (parabolic) and full-degenerate (hyperbolic) cases. This project is aimed to study the initial- boundary value problems for anisotropic degenerate parabolic-hyperbolic equation and coupling degenerate parabolic-hyperbolic system. We will make an in-depth analysis of the mathematics structure and degenerate features of this equation, and, extend the classical methods to deal with scalar equations (doubling variables device, kinetic method, renormalized method etc.) to the system, hopefully enriching the mathematical theories and the applications of this equation.

拟线性退化抛物-双曲型方程是一类重要的混合型非线性偏微分方程，在水动力学中的多相流问题、多孔介质中的污染物迁移过程等均有广泛的应用。该方程最主要的特点是方程的类型依赖于解本身，与非退化(抛物型)和完全退化(双曲型)的情形截然不同。本项目将研究各向异性退化抛物-双曲型方程和耦合退化抛物-双曲型方程组的Dirichlet 初边值问题。我们将对方程的数学结构和退化特性做深入的分析，将处理单个方程问题的经典方法(如双变量方法、动力学方法、重整化方法等)推广至方程组的情形，推动其数学理论的成熟和应用。

混合型方程是目前偏微分方程理论中的重要问题之一。拟线性退化抛物-双曲型方程是一类重要的混合型方程，在多相流、多孔介质流中具有重要的应用。本项目对拟线性退化抛物-双曲型方程初边值问题的适定性进行研究，得到如下的结果：1、证明了系数依赖于 的各项异性退化抛物-双曲型方程非齐次边值问题熵解的适定性。此外，本项目：2、考察了两维Euler方程组Riemann问题中音速线附近的半双曲路径的性质，证明音速线具有 正则性；3、证明了非线性波动方程组带Chaplygin气体状态的两维Riemann问题中音速线具有 正则性；4、证明了单位球面上全变分sine-Gordon方程能量守恒解的整体存在性。本项目的研究成果丰富了混合型方程理论。