空气动力学方程的边界层及其他稳态解

近年来，动力学理论作为连接气体与流体微观理论和宏观理论的桥梁越来越受到关注。人们意识到该理论在数学和物理实际应用中都有着重要的、无可替代的地位。作为一个应用于实际性目的的方程，我们当然也应该考虑相应的与实际有关的定解问题。本项目着眼于空气动力学方程的初边值问题，并给出一系列具有物理意义的边界条件（我们统称之为"守恒边界条件"），考虑相应的稳态解（渐近状态），并研究收敛到该状态的速度。这一项目的难点和关键问题在于对于稳态解缺乏预先估计；而在获得了稳态解之后，在证明其稳定性的过程中，如何将其有效地从解中剥落出来，从而使得边界估计成为可能，也是一大难点；最后的难点在于，由于我们想要获得更清晰的收敛速度，将采用Green函数来处理，那么非常数的稳态解对应的线性方程将给基于Fourier变换的Green 函数的构造带来极大的困难。

Maxwell边界条件对于空气动力学方程而言是一类非常重要的边界条件，被用以描述蒸发和凝结的现象。这一问题由于极其复杂，很少有关于理论方面的结果。在本项目中，我们主要研究了具守恒边界条件的Broadwell模型初边值问题，试图加深对具Maxwell边界条件的Boltzmann方程初边值问题的理解。我们建立起了Broadwell模型半平面问题的边界机制，从而对于任何适定的边界条件都能够获得完整的边界数据，基于此，初边值问题的Green函数得以构造，从而获得了具守恒边界条件的Broadwell模型初边值问题的解及其逐点估计。我们发现，对Broadwell模型来说，以边界速度为参数，其具守恒边界条件的初边值问题有非常有趣的分支（bifurcation）现象。总的说来，本人完成了所有的预定目标。在本项目研究中取得的成果和建立起的一般方法，不仅有利于帮助对具Maxwell边界条件的Boltzmann方程初边值问题的理解，而且可用于更多初边值问题的研究，有助于建立初边值问题Green函数方法的一般体系。