分数阶 Navier-Stokes 耦合方程的有限元方法研究

This project is to study finite element method for the fractional coupled Navier-Stokes equations. The research content of this project includes the following three aspects: (1) For the magnetic fluid which is affected by magnetic field and the medium has nonlocal property, this project intends to establish fully discrete two level LG-VMS finite element scheme of the space fractional nonstationary magnetohydrodynamics (MHD) equation by bringing two local Gauss integrations variational multiscale finite element method and two-level method. (2) For the fluid model which is affected by temperature field and the medium has nonlocal property, this project intends to construct fully discrete two-level LG-VMS finite element decoupling algorithm for the space fractional nonstationary natural convection problem by combining LG-VMS finite element method, two-level method and decoupling technique. (3) We will give the stability and convergence analysis of the the proposed numerical scheme, make the numerical simulations of the related magneto-fluidmechanics and fluid mechanics problems, discuss the influence of fractional derivatives on the dynamic properties of solutions, and explore the effect of fractional derivative on multi physical field coupling.

本项目拟围绕分数阶 Navier-Stokes 耦合方程的有限元方法展开研究，主要研究内容包括三个方面：（1）对于受到磁场作用且介质具有非局部性质的磁流体模型，本项目拟引入基于两局部高斯积分的变分多尺度 (LG-VMS) 有限元方法和两水平方法，建立空间分数阶非定常磁流体动力学方程的全离散两水平 LG-VMS 有限元格式；（2）对于受到温度场作用且介质具有非局部性质的流体模型，本项目拟结合 LG-VMS 有限元方法、两水平方法和解耦技术，构造空间分数阶非定常自然对流问题的全离散两水平 LG-VMS 有限元解耦算法；（3）对上述所构造的数值格式给出稳定性和收敛性分析，并对相关的磁流体力学和流体力学问题进行数值模拟，探讨分数阶导数对解的动力学性质的影响以及多物理场耦合的作用规律。

本项目致力于对分数阶 Navier-Stokes 耦合方程的有限元方法进行研究，构造稳定性好、收敛的有限元格式，并对格式进行详尽的误差估计和稳定性分析，验证数值格式是稳定并且收敛的。通过项目组成员的共同努力，我们基本完成了项目的预期成果。首先，我们构造了分数阶非定常磁流体动力学方程的全离散两水平局部高斯积分的变分多尺度有限元格式，对时间导数利用有限差分进行离散，空间离散采用两水平 LG-VMS 有限元格式，并给出格式的稳定性和收敛性分析。其次，对分数阶非定常自然对流问题，我们设计了全离散两水平局部高斯积分的变分多尺度有限元解耦算法，给出相应的稳定性和收敛性分析。最后，我们对相关的磁流体力学和流体力学问题进行研究，探讨分数阶导数对解的动力学性质的影响以及多物理场耦合的作用规律。本项目的研究工作将有助于非线性科学研究的深入发展以及磁流体力学和流体力学在工程技术中的应用。