R_+^(n+1)上调和函数空间的分布边值及其应用研究

The theory of function spaces help people to obtain a deeper understanding on the structure and basic properties of differential functions, and it is has been applied to the partial differential equations, potential theory and signal analysis widely. The study of the boundary value of the function spaces on R_+^(n+1) has a history of several decades and it is still a hot research field in harmonic analysis and partial differential equations. ..In this project, by applying the technique in modern harmonic analysis, we aim to study the basic theory of harmonic Besov-Morrey type spaces and harmonic Triebel-Q type spaces on R_+^(n+1). Our study is focus on the following three aspects. First, we study the distributional boundary values of those two kinds of harmonic function spaces, then obtain the relation between those spaces and the ones defined on R^n. Second, we give the semigroup characterization of harmonic Besov-Morrey type spaces and harmonic Triebel-Q type spaces and apply this characterization to the study of partial differential equations. Finally, we introduce analytic Besov-Morrey type spaces and analytic Triebel-Q type spaces on the unit disc, and study the properties of those function spaces, including the atomic decompositions, Carleson measure characterizations and multiplier spaces.

函数空间理论研究不仅有助于对可微函数的结构和基本性质有更深刻的理解，而且在偏微分方程、位势理论以及信号分析上的有着广泛应用。上半空间R_+^(n+1)上函数空间元素的边值问题研究经历了几十年的历史，至今仍是调和分析和微分方程领域的一个热点问题。本项目旨在利用现代调和分析技巧研究定义在上半空间R_+^(n+1)上的调和函数空间（包括调和Besov-Morrey型空间与调和Triebel-Q型空间）的基本理论。主要研究这两类函数空间的元素在分布意义下的边值（分布边值）问题，建立它们与R^n上对应的实值函数空间之间的关系，给出这两类函数空间的调和延拓和半群刻画，进而将所得结果应用于偏微分方程研究；引入单位圆盘上的解析Besov-Morrey空间和Triebel-Q空间，研究这些空间的基本性质，如原子分解、Carleson测度刻画及乘子空间等。

函数空间理论研究不仅有助于对可微函数的结构和基本性质有更深刻的理解，而且在偏微分方程、位势理论以及信号分析上的有着广泛应用。上半空间R_+^(n+1)上函数空间元素的边值问题研究经历了几十年的历史，至今仍是调和分析和微分方程领域的一个热点问题。本项目利用现代调和分析技巧研究了定义在上半空间R_+^(n+1)上的调和函数空间（包括调和Besov-Morrey型空间与调和Triebel-Q型空间）的基本理论。建立它们与R^n上对应的实值函数空间之间的关系，给出这两类函数空间的调和延拓和半群刻画，给出双线性算子在与Besov-Morrey型和Triebel-Q型等空间有关的帐篷空间上的估计，并将该双线性估计用于研究微分方程在初值位于这些函数空间时解的性质；研究了相关的解析函数空间的基本性质，如原子分解、Carleson测度刻画及乘子空间等。