带奇异初值的发展方程及相关问题研究

The main purpose of this item is to investigate the well-posedness of autonomous and non-autonomous evolution equations with singular initial data, the long-time dynamical hehavior of their solutions and related property. First,when the nonlinearities grow in critical exponents, we study the existence,uniqueness and continuous dependence of initial data of ε-regular solutions for the parabolic equations and damped wave equations with singular initial data in general Banach spaces, respectively; and the regularity of solutions of them in fractional powers spaces and interpolation spaces. Second, when the initial data belongs to the Banach spaces,we establish the existence and regularity of attractors for autonomous and non-autonomous nonlinear parabolic equations and nonlinear wave equations, respectively. At same time, we consider the stability of attractors about perturbation and attracting rate of the attractors about the solution orbits. In general Banach spaces, when the solutions of the equations lack some smoothing property and there do not exist inertial manifolds, we establish the results on the existence of exponential attractors, and we apply them to the problem with singular initial data. Finally, we study the geometrical and topological structure of attractors. We try to estimate the Hausdorff and Fractal dimension of attractors in Banach spaces. At the same time, we investigate the existence of isolated invariant sets in attractors corresponging to autonomous and non-autonomous nonlinear parabolic equations and nonlinear wave equations, the Morse decomposition of attractors for them.

本项目旨在研究奇异初值下自治与非自治发展方程的适定性,其解的长时间动力学行为及相关特性。首先，当非线性项以临界指数增长时，在一般的Banach空间中研究奇异初值下抛物方程与带阻尼项的波方程ε-正则解的存在性、唯一性、对初值的连续依赖性；在分数次空间与插值空间中研究该解的正则性。其次，在Banach空间中分别建立自治与非自治的非线性抛物方程与非线性波方程吸引子的存在性，正则性。我们考虑吸引子对于扰动的稳定性及对解轨道的吸引率。在一般的Banach空间中，当方程的解缺乏一定的光滑性及没有惯性流形存在时，建立指数吸引子的存在性结果，并应用到奇异初值问题。最后，我们研究吸引子的几何结构与拓扑结构。我们试图在一般的Banach空间中估计吸引子的Hausdorff与Fractal维数。同时，考察自治与非自治情形下非线性抛物方程与非线性波方程的吸引子内孤立不变集的存在性，吸引子的Morse分解。

一、研究背景：. 本项目旨在研究奇异初值下自治与非自治发展方程的适定性,其解的长时间动力学行为及相关特性。当发展方程的非线性项以临界指数增长时，奇异初值问题能从一个侧面刻画其解的适定性，解的正则性，解对初值的依赖性，能有效地克服在原初值空间中研究该问题时所出现的一些困难。另一发面，奇异初值问题可以从另一侧面研究发展方程解的正则程度，能有效地研究吸引子的正则性。. 二、主要研究内容：. 首先，当非线性项以临界指数增长时，在一般的Banach空间中研究奇异初值下发展方程解的存在性、唯一性、对初值的连续依赖性；在分数次空间与插值空间中研究该解的正则性。其次，在Banach空间中分别建立自治与非自治的发展方程吸引子的存在性，正则性。再次，我们考虑吸引子对于扰动的稳定性及对解轨道的吸引率。在一般的Banach空间中，当方程的解缺乏一定的光滑性及没有惯性流形存在时，建立指数吸引子的存在性抽象结果，并应用到具奇异初值抛物方程和波方程。最后，我们考虑了发展方程的随机外力。就奇异初值下带可加噪声和乘积噪声的发展方程的解的适定性，解的正则性及随机吸引子的存在性做了相关研究。. 三、重要结果：. 首先，在发展方程两解之差缺乏光滑性及系统没有惯性流形存在时，我们利用非自治过程所对应离散半群的一致squeezing特性，在Banach空间中建立拉回指数吸引子存在性的抽象结果，由此给出连续情形下吸引子分形维数有限的估计，吸引子的指数吸引特性。我们应用此结果研究抛物方程和波方程。其次，在随机框架下，得到了奇异初值下发展方程在一般的Banach空间中解的存在性，唯一性，解对初值的连续依赖性和解的正则性。建立了随机吸引子的存在性及其正则结果。最后，得到了带双记忆的发展方程吸引子的存在。. 四、科学意义：. 通过本项目的研究，能在临界情形下有效解决发展方程适定性及相关问题。推广了吸引子关于扰动稳定性问题的研究方法，可以解决缺乏光滑性系统中指数吸引子的存在性。同时，将奇异初值问题推广到随机情形下。