对称时滞微分方程分支周期解及秩一混沌研究

Bifurcation problem is one of the most important subjects in nonlinear dynamical systems. The main research object of bifurcation theory is to investigate the structural unstable systems and the phenomenon of the topological structures changing with the parameters of the systems varying. Bifurcating periodic solution is a very important kind of these bifurcation phenomena. Delay differential equations with symmetry can produce more complex bifurcation phenomena. Chaos theory is another important topic in the study of delay differential equations. Recently, some researches find that bifurcating periodic solution of ordinary differential equation adding an external periodic force as an input can result in rank one attractors. Due to the bifurcating periodic solutions in some time-delayed systems, the existence of rank one chaotic attractor of delay differential equations has become a very attractive and challenging problem.This project intends to study the delay differential equations with symmetry. Firstly, we investigate bifurcations when the infinitesimal generator has a pair of nonsemisimple purely imaginary eigenvalues with multiplicity. The existence of the periodic solutions and the criterion of the bifurcation direction are studied. Secondly, based on Hopf bifurcation theory for functional differential equations and rank one theory for ordinary differential equations, The existence of rank one chaos of delay differential equations is studied.

分支问题是非线性动力系统领域最重要的研究课题之一，其研究目标是结构不稳定的系统在参数发生变化时，系统的某些拓扑结构发生改变的现象，而分支周期解是这些现象中极其重要的一种. 具有对称性的时滞微分方程会产生更复杂的分支现象. 混沌是时滞微分方程研究中的另一个重要课题. 近来在将秩一混沌理论应用于某些常微分方程的动力学研究中发现,渐近稳定的周期解在周期脉冲参数激励下存在秩一混沌吸引子. 由于在很多时滞系统中存在分支周期解, 时滞系统是否存在秩一混沌吸引子就成为具有很大吸引力和挑战性的课题.本项目拟对具有对称性的时滞微分方程进行研究.首先考虑分支值处无穷小生成元的纯虚特征值是多重的且是非半单的，研究分支周期解的存在性和分支方向的判据.其次，以时滞微分方程的Hopf分支理论及常微分方程的秩一混沌理论为基础,研究时滞微分方程秩一混沌的存在性.

为了将研究时滞微分方程的分岔理论和常微分方程的秩一混沌理论推广到具有对称性的时滞微分方程情形，项目组综合运用时滞微分方程稳定性和分岔理论、Hassard方法、时滞微分方程的秩一混沌理论等理论和方法研究了7类时滞微分方程的分岔周期解和秩一混沌。一方面，综合应用时滞微分方程稳定性和分岔理论及Hassard方法，分别得到一类具有两个不同时滞的植物病毒传播模型、一类参数依赖时滞的两时滞HTLV-I病毒传播模型和一类分数阶时滞Bhalekar-Gejji系统的Hopf分岔及其分岔性质；对一类Michaelis-Menten型比率依赖的食饵捕食者模型的Bogdanov-Takens分岔进行研究，发现在该系统中存在鞍结分岔、Hopf分岔和同宿轨分岔现象。另一方面，对一类三种群时滞食物链模型和一类具有Monod-Haldane型非线性发生率和Holling Ш型治疗率的两时滞SIR传染病模型的秩一混沌吸引子进行研究，得到的结果将时滞微分方程秩一混沌吸引子的研究方法推广到了多时滞微分方程，进一步发展了时滞微分方程秩一混沌理论。这些结果丰富了研究时滞微分方程分岔周期解和秩一混沌的方法和理论，将为解释一些复杂的生物和物理现象提供科学参考。通过本项目的支持，项目组在国内外期刊发表论文7篇，其中6篇被SCI收录。