Markov过程游离理论的若干相关问题及其应用

We investigate some relationship between Revuz corresponding and excursion law, where the latter is a corresponding from a measure defined on the state space to a functional. So as to find some results on Dirichlet space which is also dependent closely on Revuz measure..We are also concerned on Hunt process, a strong Markov process whose sample path is right continuous with left limit. We would like to construct a boundary process by excursion law from a certain subset of the state space, and then give some relationship between the invariant measures of the subprocess and the orignal one. By the way, considered that the Harris recurrence which is likely a nice tool about studying the ergodicity of Markov processes, we give some necessary and sufficient conditions on it, then gain our ends on studying the existence and uniqueness of the invariant measure.. Finally, this work is concerned on the stable process whose sample path is discontinuous with jumps. We study the properties on the excursion process, in order to solve the pricing problem on some barrier options.

本项目探讨存在于Revuz对应与游离分布之间的关联性，前者是建立在过程状态空间上的测度与泛函之间的对应关系，并以此为基础寻求同样与Revuz测度有着紧密联系的Dirichlet空间的理论依据。.其次，作为样本轨道右连左极的强Markov过程，Hunt过程的不变测度存在唯一性问题也是我们所关心的课题，本项目尝试利用过程在状态空间某子集上的游离分布构造一个边界过程，用以探讨该子过程的不变测度与原过程不变测度之间的联系。另外，考虑到Harris常返性是一个便于研究过程遍历性的工具，本项目将针对Harris常返性提出若干易于判断的充分必要条件，最终达到探讨Markov过程不变测度存在唯一性的目标。.最后，研究一类轨道不连续的带跳的Markov过程- - - - - - 稳定过程，我们考虑对称稳定过程的游离性质，并以此为模型讨论在一定条件下有关障碍期权的一些定价问题。

有关 Hunt 过程不变测度存在性的研究，大多为离散化的方法，本项目基于比较一般的条件下探讨了平稳过程不变测度的存在唯一性条件。 另一方面，考虑到 Harris 常返性是一个便于研究过程遍历性的工具，认为有必要提出若干易于判断的关于 Harris 常返性的特征。为此我们在前人工作的基础上, 针对一类特殊的Markov链给出了遍历性条件，发现从另一个方面探讨不变测度的存在唯一性，应该也是可行的。为了更加深入地探讨我们在过程精细不可约的条件下，证明了不变测度（如果存在）一定是唯一的，该结果对前人结果有很大的改进。 . 延续概率位势论方法的应用，只需要在过程持弱对偶性的前提下就是成立的，而我们知道弱对偶性是一种温和的性质，无需处理这种伴随过程的存在性，亦可以帮助本项目探讨存在于 Revuz 对应与游离分布之间的关联性，最终达到提供同样与 Revuz 对应有着紧密联系的 Dirichlet 空间理论的相关依据。. 我们在Dirichlet型和马氏过程理论领域也已经取得了实质性的进展，研究了 Dirichlet空间的正则子空间和正则空间及其结构等一系列问题，项目参与者的一篇论文被概率论顶级刊物 Annals of Probability 接受，说明该研究有重要的意义和理论价值。