一类Dirichlet型空间及相关的Mobius不变空间

The study of Dirichlet type spaces and Mobius invariant spaces is very active in the field of function spaces and operator theory, which has been applied to potential theory, harmonic analysis and the partial differential equations. To develop the theory of Dirichlet type spaces and to consider some problems in some Mobius invariant spaces, the applicant, N.G.Gogus and S.Pouliasis introduced a class of Dirichlet type spaces denoted by D_{μ,p} recently. The aim of this project is to investigate D_{μ,p} spaces and Mobius invariant spaces generated by them, including the Hardy-Littlewood type theorem and the atomic decomposition theorem for D_{μ,p} spaces, the general theory of Mobius invariant spaces generated by D_{μ,p}. The project also considers the open problem of characterizing Carleson measures for the Bloch space via the theory of D_{μ,p} spaces. By seeking some new and valid methods, we hope to complete the theory of D_{μ,p} spaces and Mobius invariant spaces generated by them.

Dirichlet型空间与Mobius不变空间一直是函数空间与算子理论领域很活跃的研究对象，其理论在位势理论、调和分析与偏微分方程领域有着深刻的应用。为了发展Dirichlet型空间理论并解决相关的Mobius不变空间中的一些问题，申请人、 N.G.Gogus和S.Pouliasis近期引入了一类Dirichlet型空间D_{μ,p}。本项目将研究D_{μ,p}空间与它生成的Mobius不变空间。研究内容包括D_{μ,p}空间的Hardy-Littlewood型定理、原子分解特征以及D_{μ,p}空间生成的Mobius不变空间的一般理论。我们也将利用D_{μ,p}空间与Bloch空间的关系来探索Bloch空间的Carleson测度这一个公开问题。通过本项目的研究，期望填补某些研究空白，寻求和发现新的研究途径和有效工具，建立较完备的D_{μ,p}空间及其生成的Mobius不变空间理论。

Dirichlet型空间及相关的Mobius不变空间理论是复分析领域的重要研究对象，在控制论、位势理论、调和分析与微分方程等领域有深刻的应用。本项目继续发展了这些空间理论，取得的重要成果包括：通过Dirichlet型空间和Bloch空间理论研究了Hankel测度的特征，否定地回答了Jie Xiao教授2000年提出的一个问题；寻找到了最大的α-Mobius不变空间和唯一的α-Mobius不变Hilbert空间，回答了Ruhan Zhao教授1996年提出的两个问题；研究了一类Mobius不变空间的交与并之间的关系，部分解决了Risto Korhonen和Jouni Rattya教授2005年提出的一个问题。此外，本项目还刻画了一类Dirichlet型空间生成的Mobius不变空间与Cesaro算子作用在有界解析函数空间上的值域的关系；刻画了一类Dirichlet型空间在对数Bloch空间中的闭包及相关的内函数特征和复合算子的有界性。在研究过程中，本项目使用的主要工具包括Carleson测度、原子分解定理、Hardy-Littlewood型定理和具体空间的自身理论及相关积分估计。.本项目取得的成果得到了解析函数空间领域的国内外同行们一定程度上的关注。2021年10月，项目主持人作为Plenary Speaker应邀在加拿大菲尔兹数学科学研究所举办的“Fields focus program on analytic function spaces and their applications”国际会议上做了题为“A family of Mobius invariant function spaces”的大会报告。