Dirichlet空间的分析与几何

Dirichlet空间是单位圆盘上导数模平方可积的解析函数组成的再生核Hilbert空间，它与位势理论、双曲几何、随机分析、偏微分方程、概率论等学科密切相关。本项目主要研究Dirichlet空间中Carleson方案的若干问题：Dirichlet空间的不变子空间在相似意义下的分类；Dirichlet空间元素和其乘子代数元素的关系；Dirichlet空间的循环向量；Dirichlet空间样本序列和零序列的几何特征。本项目的研究对揭示Dirichlet空间的分析和几何结构、理解再生核Hilbert空间上的分析和算子理论具有重要意义，并对相关学科产生积极影响。

本项目研究Dirichlet空间上的分析与几何结构。主要结果如下：在相似意义下给出Dirichlet空间不变子空间的完全分类；在Dirichlet空间中引入外函数的概念，证明了Dirichlet空间的外函数不一定是循环向量（与Hardy空间和Bergman空间情形不同）；得到有限余维理想的完全刻画；分别利用诱导测度的径向性和计数函数的本质径向性给出了Dirichlet空间正交函数的完全刻画，并证明了闭单位圆盘上解析自映射正交当且仅当它们为有限Blaschke积，同时证明了非有限Blaschke积的正交函数的存在性；刻画了单位圆盘上一类序解析Hilbert空间与Dirichlet空间的极大不变子空间；完全刻画了Hardy空间上Toeplitz算子的交换性；证明了一类全平面上解析Banach空间具有任意指标的拟不变子空间的存在性；得到了加权Bergman空间中一类加权复合算子有界的充要条件；给出了Fock空间上一类酉等价的乘法算子的完全刻画。