Dirichlet型空间上的算子理论

Research on the operator theory on function spaces is one important object of functional analysis, which is especially rich on Dirichlet space. The project is mainly concentrated on the properties of operator on Dirichlet and Dirichlet-type spaces. First, we study the algebraic properties of Bergman-type Toeplitz operators on Dirichlet space, including its commutators, necessary and sufficient conditions on which the product of two Toeplitz operators is still a Toeplitz operator, or on which the product of two and finite Toeplitz operators is zero. Second, we study the properties of Hardy-type Toeplitz operators on Dirichlet space, including its compactness, Fredholm property, semi-commutator, commutator. Third, we study the properties of Hankel operators on Dirichlet space, including its boundedness, compactness. Finally, we study the corresponding properties of these operators on Dirichlet-type spaces.

函数空间上的算子理论是泛函分析研究的主要内容。Dirichlet空间上的算子理论尤为丰富。本项目主要讨论Dirichlet、Dirichlet型空间上算子的性质。首先讨论Bergamn型Toeplitz算子在Dirichlet空间上的代数性质，包括算子的换位子、两个Toeplitz算子的乘积仍是Toeplitz算子、两个乃至多个Toeplitz算子的乘积为零的充要条件；其次讨论Hardy型Toeplitz算子在Dirichlet空间上的类似性质，包括算子的紧性、Fredholm性、半换位子、换位子等；接着讨论Dirichlet空间上Hankel算子的有界性、紧性等性质；最后讨论这些算子在Dirichlet型空间上的相应性质。这项研究将进一步发展和完善函数空间上的算子理论，对泛函分析理论的扩展有重要的意义。

在一维复空间中，对经典的Hardy空间、Bergman空间上Toeplitz算子、Hankel算子的研究成果非常丰富，其理论发展得最为完善。Dirichlet空间的情的形则较为复杂。 在Dirichlet空间上，可以定义不同Toeplitz算子，这决定了其上研究内容的丰富性，其性质与选择的投影、算子的符号及其导数、函数及其导数、空间的再生核紧密联系。由于这些原因使得Dirichlet空间上Toeplitz算子的性质要比Hardy空间、Bergman空间上情形更复杂。本项目主要研究了一下内容：（1）研究Dirichlet空间上Bergman型Toeplitz算子的Fredholm性质、换位性。主要包括符号在什么条件下使得两个Toeplitz算子交换；何时两个Toeplitz算子的乘积是一个Toeplitz算子；考虑两个Toeplitz算子的乘积为零的充分必要条件，进一步讨论有限个Toeplitz算子的乘积为0的充分必要条件。（2） 研究Dirichlet空间上Hardy型Toeplitz算子以及Hankel算子的性质。主要包括Hardy型Toeplitz算子的有界性、紧性、Fredholm性质； Hardy型Toeplitz算子的半换位性、换位性；两个Hardy型Toeplitz算子的乘积何时仍是一个Toeplitz算子，进而推导有限个Toeplitz算子的乘积为0的充分必要条件。在项目执行期间，共完成相关学术论文7篇，其中5篇已发表，2篇已接受，2篇已投稿，并且培养硕士研究生2名。