量子熵理论的若干数学问题

The entropy theory is an important subject in classical and quantum information theory，quantum entropy theory provides theoretical foundations for understanding and sloving quantum computation, quantum communication, quantum measurements, quantum entanglement, etc, has greatly contributed to the development of quantum physics, especially quantum information. In terms of operator algebraic theory and quantum operations theory, the project mainly investigates the following aspects: 1.investigating the entropy of perticular quantum dynamical system; 2.describing quantum conditional mutual information; 3.investigating the mapping entropy of the compound stochastic quantum operations; 4.inquiring into entropy-preserving quantum operations. Hence, this project has an important guiding significance for realizing the laboratory manipulation, storage and transmission of quantum state and contributes to the development of the quantum theory in the laboratory aspect.. .

熵理论是经典信息理论和量子信息理论中的一个重要主题,量子熵理论为理解和解决量子计算、量子通信、量子测量、量子纠缠等问题提供了理论基础，大大促进了量子物理特别是量子信息学的发展。本项目借助于算子理论和量子操作理论，主要研究以下几个方面：1.研究特定量子力学系统的熵；2.刻画量子条件互信息；3.研究随机量子操作复合的映射熵；4.探讨保持熵的量子操作。本项目通过研究各类量子熵的数学性质，揭示量子操作对量子态的影响，以及量化量子态中所包含的信息。因而，该项目对实现量子态的实验室操控、存储和传输具有很重要的指导意义，有助于量子理论在实验室方面的发展。

量子熵理论是量子信息中最基本的一个方面。量子熵理论在最近短短的几十年里得到了迅速的发展，von Neumann熵和相对熵函数被广泛地应用在物理的许多领域中。各种广义量子熵也相继涌现，它们有着与von Neumann熵相似的性质，有些在量子信息的应用方面更具优势。在量子熵理论方面，我们主要研究了序列效应代数的统一(r,s)-熵。借助于序列效应代数理论和广义量子熵理论，我们利用序列效应代数分割和加细，主要研究了序列效应代数上分割的统一(r,s)-熵以及统一(r,s)-条件熵的非负性，次可加性，以及统一(r,s)-条件熵的一些重要的不等式，这些性质反映了量子效应的不可换性。在量子微分熵方面，我们主要研究和Wishart 随机矩阵模型相关的不同的熵量，具体地，我们研究了Wishart 系综的特征值的联合概率分布的微分熵（也称Gibbs–Boltzmann 熵）. 我们研究了由随机量子态所诱导的相关的随机矩阵模型，该模型在量子信息理论中有着重要的作用。此外， 我们研究了由态诱导的随机矩阵特征值的联合分布和对角元的分布。 我们还研究了随机密度矩阵的对角元分布和特征值分布的相对熵. 在量子序列熵方面，我们在前面工作基础上，进一步研究了量子序列效应代数分割的统一(r, s)-相对熵，建立了它的一些重要性质。 同时我们比较了量子序列效应代数上分割的香农相对熵和统一(r, s)-相对熵。并且，我们给出了量子测量的实例和图示说明我们的结果以及它的实际意义。