求解随机延迟微分方程的多步方法

随机延迟微分方程是生物学、金融、随机控制等研究领域中的重要数学模型。由于在系统中考虑了噪声和滞后的影响，随机延迟微分方程往往能够更加精确地刻画事物的运动变化规律。绝大多数的随机延迟微分方程都无法求得显式解析解表达式，因此发展适用的数值方法和对数值方法进行理论分析近几年来已经成为国内外计算数学工作者们研究的热点问题之一。.本课题拟对求解随机延迟微分方程的多步方法进行系统地研究。对于具有一般形式的一阶随机延迟微分方程构造多步求解公式，应用条件期望的性质、Doob不等式、能量分析方法等分析多步求解公式的收敛性并确定强收敛阶；在此基础上，对于线性随机延迟微分方程和半线性随机延迟微分方程讨论多步方法的均方稳定性和随机渐近稳定性，确定数值稳定条件；建立求解中立型随机延迟微分方程和二阶随机延迟微分方程的多步方法并讨论其收敛性。.本课题的目的是对于几类随机延迟微分方程发展多步求解方法并完善方法的理论分析。

随机延迟微分方程作为重要的数学模型在金融、生物、随机控制等领域具有广泛应用。本课题致力于建立求解随机延迟微分方程的数值方法，特别是多步方法和分步方法，并分析数值方法的收敛性和稳定性。. 首先，对于求解一般随机延迟微分方程的两步Maruyama方法，提出了一组关于参数的条件，证明了满足此条件的一族多步方法能够无条件地保持方程解析解的指数均方稳定性，即只要延迟项是步长的整数倍，数值解就是指数均方稳定的。我们应用所提出的方法求解了线性随机延迟微分方程、非线性随机延迟微分方程及非线性随机延迟微分方程组，并与其它几种已有的两步方法进行比较，从数值试验的角度验证了我们所提出的方法具有更好的数值稳定性。对于带有时滞及可附加噪声项的Burgers方程，应用傅立叶矩阵进行空间导数离散以后，应用我们所提出的方法进行时间方向的数值求解，取得了理想的数值结果。. 其次，我们提出了求解随机延迟微分方程的分步 -方法，对于一般的随机延迟微分方程证明了方法的强收敛阶为1/2，并讨论了方法指数均方渐近稳定的条件，给出了保持解析解指数均方稳定时参数 和步长h应满足的条件及相互关系。证明了当参数增大时，对步长的限制条件减弱直至消失，并给出了参数和步长的具体取值范围。对于一类特定的线性可乘噪声延迟微分方程，我们还提出了更优的稳定条件。通过线性及非线性的数值算例，验证了方法的收敛阶及指数均方渐近稳定性。. 对于非线性中立型随机延迟微分方程，我们证明了分步向后Euler方法的强收敛阶是1/2，并证明了方法是指数均方渐近稳定的。通过数值算例进一步验证了对于任意的步长，数值解都能保持原方程解析解的均方渐近稳定性。同时，对于此类方程，我们也讨论了两步Maruyama方法的收敛性和均方渐近稳定性，给出了参数应满足的条件。. 另外，我们对于半隐式Euler方法的T-稳定性进行了分析，提出了保持方法T-稳定时参数及步长应满足的条件。我们还提出了求解随机延迟微分方程的波形松弛法，在Lipschitz条件下证明该方法在均方意义下收敛，而对于特定的分裂函数，该方法超线性收敛。