几类随机延迟微分方程高效数值方法研究

Stochastic delay differential equations which take into account the influence of random noise on the system changes and describe various phenomena in real life more accurately than deterministic delay differential equations are used in describing scientific and engineering models more and more. Because of the analytic solutions of stochastic delay differential equations are difficult to obtain, the numerical solutions and their related properties have become the focus of research. Most of the existing numerical methods have low accuracy, if the Taylor method is used to improve the accuracy, the amount of calculation and the cost of calculation will increase accordingly. In order to meet the accuracy requirement of scientific engineering calculation, this project intends to expand the existing excellent numerical methods and construct efficient numerical methods for several kinds of stochastic delay differential equations which are presented in electronic engineering, biology, financial mathematics, environmental chemistry and other scientific and engineering problems which have common characteristics by using stochastic root tree theory and combining interpolation, iteration and integral techniques. This project compares the convergence order of different numerical methods and studies the convergence and stability of the constructed numerical methods. We will also explore the applications of the derived numerical methods in the scientific engineering models. This research will fill the blank of efficient numerical methods for stochastic delay differential equations, enrich the numerical theory of stochastic delay differential equations, and provide theoretical basis and technical support for solving related scientific problems.

随机延迟微分方程由于考虑了随机噪声对系统变化的影响，比确定性延迟微分方程更能准确地刻画、描述现实生活中的各种现象，揭示事物的本质，越来越多的被用于科学与工程模型的刻画中。由于随机延迟微分方程解析解很难获得，数值解及其相关性质的研究成为研究重点。现有的数值方法普遍精度不高，若通过Taylor方法提高精度，计算量及计算成本随之增加。为满足科学工程计算的精度需求，本项目拟对电子工程、生物学、金融数学、环境化学等科学与工程领域中具有共性特征的几类随机延迟微分方程，拓展现有泛函微分方程优秀数值方法，利用随机根树理论，结合插值、迭代及积分技巧，构造几类随机延迟微分方程的高效数值方法。对比分析方法的收敛阶，研究其收敛性、稳定性等数值性质，探索结论在科学工程领域中的应用。本项目的研究将填补随机延迟微分方程高精度数值方法研究空白，丰富随机延迟微分方程数值理论，为相关科学问题的解决提供理论依据和算法支持。

随机延迟微分方程由于考虑了随机噪声对系统变化的影响，比确定性延迟微分方程更能准确地刻画、描述现实生活中的各种现象，因此随机延迟微分方程已被广泛应用于工程、物理、医学、生物以及经济领域，成为科学与工程领域中非常重要的数学模型。由于随机延迟微分方程解析解通常很难获得，在实际应用中常用数值解近似代替解析解，构造有效的数值方法求解随机微分方程具有重要的理论意义和应用价值。近几年来，关于随机延迟微分方程数值方法的研究取得了大量成果。但是高精度的数值方法很少见，尤其是关于带非高斯白噪声的中立型随机延迟微分方程及带泊松跳的随机微分方程，需要寻找比显式或半隐式的欧拉方法具有更好的稳定性的数值方法。.本项目构建了几类半线性中立型随机延迟微分方程的数值方法，利用 Holder 不等式、Gronwall 不等式等几类不等式性质对离散格式及多种噪声进行放缩，分析了方法的收敛性、稳定性及耗散性的性质。对于不确定概率条件下的模型，研究了 G-布朗运动驱动的随机延迟微分方程解的存在唯一性及几类稳定性，将结论推广到 G-布朗运动驱动的中立型随机延迟微分方程上，分析了解的存在唯一性及稳定性。进一步研究了不稳定的 G-Lévy 过程驱动的中立型随机泛函微分方程，设计了离散时间反馈控制项，将不稳定的系统稳定化，利用Carathéodory 逼近，证明了方程存在唯一 H∞稳定的左极右连解。利用李雅普诺夫函数方法，证明了离散时间反馈控制下解的均方指数稳定性及准肯定指数稳定性。本项目的研究成果填补了中立型随机延迟微分方程及 G-布朗运动驱动的中立型随机延迟微分方程数值研究空白，为此类方程数值方法的构建和分析提供理论依据和技术支持。丰富和发展随机常微分方程和具有概率不确定性的随机常微分方程的数值计算，为构造随机常微分方程的高效算法提供新思路和新途径，具有十分重要的理论意义和潜在的应用价值。