求解刚性及非线性随机延迟微分方程的数值方法

Due to strengths of describing influence brought by noise and delay, stochastic delay differential equations (SDDEs) are important mathematical models being applied in many fields, such as stochastic control, ecology, finance, etc. A large number of SDDEs used in modelling practical problems are multi-scale or strongly nonlinear, and either the SDDEs are stiff or the coefficients do not satisfy the global Lipschitz condition and the linear growth condition. The objective of this project is to design numerical schemes for solving stiff and nonlinear SDDEs by using the stochastic Taylor expansion, the balanced method, the Wong-Zakai approximation and the splitting method, and to study the strong convergence and delay-dependent stability of these schemes. Firstly, the fully implicit schemes and semi-implicit splitting schemes, which are of first-order convergence in strong sense and able to preserve the stability of the exact solution, will be derived for the stiff SDDEs, and some efficient algorithms based on the Wong-Zakai approximation will be constructed. Furthermore, under a series of non-global Lipschitz conditions, which are weaker than those in the existing literature, the strong convergence and stability of a general Euler-type method will be investigated, and the tamed methods and splitting methods will be proposed and studied for nonlinear SDDEs. Moreover, theory and numerical experiments will be synergistically used to solve practical problems, to verify the theory of numerical schemes, and to optimize the algorithms. The ultimate goal of this project is to develop efficient and reliable numerical methods and their theory for stiff and nonlinear stochastic delay differential equations.

随机延迟微分方程能描述噪声干扰和时间滞后对系统的影响，是随机控制、生态、金融等领域的重要数学模型。应用中很多典型问题是多尺度或强非线性的，即方程具有刚性或系数不满足全局Lipschitz条件和线性增长条件。本课题拟应用随机Taylor展开、平衡方法、Wong-Zakai近似和分裂方法，发展求解刚性和非线性随机延迟微分方程的数值格式并分析格式的强收敛性、延迟依赖稳定性等性态。对于刚性问题，建立一阶强收敛、能较好保持解析解稳定性的全隐式格式和分步半隐式格式，以及基于Wong-Zakai近似的高精度算法；对于非线性问题，在弱于现有文献中假设条件的非全局Lipschitz条件下，研究广义Euler型格式的强收敛性和稳定性，建立驯服格式和分步格式并分析其性态；通过数值求解应用领域中的相关问题检验理论结果并优化算法。发展求解刚性及非线性随机延迟微分方程的高效可靠数值方法及其基本理论是本课题的最终目标。

随机延迟微分方程能描述噪声干扰和时间滞后对系统的影响，是随机控制、生态、金融等领域的重要数学模型。对于复杂系统中的刚性和非线性随机延迟微分方程或微分系统构造高效的数值格式是具有应用背景和理论价值的研究课题。本项目取得的研究成果包括：.第一、对于非线性随机延迟微分方程，在系数满足较弱的非全局Lipschitz条件和初始函数矩有界的假设条件下，建立了单步显式方法的收敛性基本定理，为求解非线性随机延迟微分系统数值方法的强收敛性研究提供了理论框架；.第二、通过引入一类具有特殊性质的函数，构造了平衡Euler格式，并基于收敛性基本定理给出了格式的收敛阶，平衡Euler格式为构造求解强非线性随机微分方程的有效数值方法提供了新思路；.第三、提出了分裂步平衡theta方法，证明了该格式在求解强非线性刚性问题时能够无条件保持解析解的指数均方渐近稳定性，数值实验表明该格式的指数均方稳定性优于分裂步theta方法，并具有比经典的半隐式Euler方法略高的求解精度；.第四、利用Wong-Zakai近似提出了求解白噪声驱动的二阶随机微分方程的全离散格式，获得了强收敛阶为3/2, 弱收敛阶为2的高效数值格式并给出了相容性和收敛性证明；.第五、基于数值积分和Bessel函数谱展开截断，构造了分数布朗运动的两类数值近似公式，证明了数值近似公式应用于椭圆方程的相容性，给出了相容阶，在此基础上结合有限元方法提出了求解分数布朗运动驱动的二阶随机微分方程数值方法，证明了对于0和1之间的Hurst指数H，数值方法能够达到H+1的强收敛阶，该收敛阶高于现有文献中给出的H+1/2阶。.此外，我们还对于具有不光滑解的分数阶微分方程初值问题和边值问题，应用增加校正项的思想、外推技术和分级步长方法，提出了几种在解的正则度较低的条件下达到较高求解精度的数值格式，并从理论上分析了格式的收敛性和稳定性，在数值模拟中引入快速算法提高计算效率。.以上研究成果具有一定的创新性和影响力，对刚性及非线性随机延迟微分方程数值方法的研究起到了积极的推动作用。