Gross-Pitaevskii方程驻波解及其相关的非线性椭圆问题

The experimental and theoretical study of Bose-Einstein Condensation (BEC) and related macroscopic quantum states is becoming a frontier field of modern physics. Gross-Pitaevskii (GP) equation is a basic model of describing BEC phenomena, which plays an important role in understanding theoretically the BECs. So, much attention has been paid to the mathematical study of GP equations. There are many nonlinear elliptic problems appeared in the study of standing waves of GP equations and related topics. This project are mainly concerned with the GP equations and related nonlinear elliptic problems corresponding to several typical kinds of BECs and we try to learn the relationship between the properties of solutions of GP equations and the behaviors of BECs. We plan to study first the existence and properties of standing waves of the GP equation associated to an attractive BEC in a ring-shaped trap, and its applications to general elliptic equations; Next, we consider the system of GP equations arising in two components BEC, and try to establish a criterion for the existence of solution for the system and give some detailed analysis for the behavior of the solutions; Then, we want to prove some Liouville type theorems , for the stable solutions as well as the solutions with finite Morse index, of the system of GP equations with growth of Sobolev critical exponent; Finally, we turn to studying the standing waves solutions and their properties of some type of fractional GP equations.

原子玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)相关的宏观量子态实验和理论研究已成为现代物理学的重要前沿领域。Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述BEC现象的基本模型，是从理论上严格分析各种BEC现象的基础。因此，GP方程的数学研究也自然成为人们关注的热点问题。GP方程的驻波解及其相关的研究中涉及大量的非线性椭圆型方程问题。本项目将围绕几类典型的BEC现象所对应的GP方程来开展相关的椭圆型方程的数学研究,探讨方程解的特性与物理现象的对应关系。拟研究的内容包括：吸引力下环形BEC对应的GP方程驻波解的性态分析以及相关结果对一般椭圆问题（如p-Laplace方程）的应用；双组分BEC对应的GP方程组驻波解的存在性准则、解的集中或爆破行为分析；超Sobolev临界增长的GP方程组解的非存在性如稳定解和有限Morse指标解的Liouville型定理；此外，还将研究分数阶GP方程的稳态解及其相关问题

Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 现象的基本模型，对GP方程进行数学理论研究，不仅有助于理解和分析物理实验中出现的BEC 现象，而且还可以从理论上预测新的BEC现象。本项目围绕GP方程(组)及其一般形式的方程即非线性Schrodinger（NLS）方程以及与之相关的非线性椭圆型方程开展了系统深入的研究。.对于二维空间（2D）中吸引相互作用下BEC所对应的单个GP方程，利用约束变分极小化思想，通过分析解的梯度性质，再结合相应极限方程解的特性，我们给出了带有一般深阱位势的GP方程基态解的渐近性质。并且，针对某些典型深阱位势（如：势阱底部为有限个点、或为圆环/椭圆环、或为有限个有界区域等）下的质量临界GP方程, 我们通过新的能量估计技巧，建立了基态解能量的精细估计，进而给出了基态解的最佳爆破率以及爆破点的可能位置，并对解的唯一性、对称性等性质进行了讨论。相关论文发表不久就被列入ESI高被引论文，还有部分结果获得了湖北省自然科学二等奖。基于2D单个GP方程（Laplace算子）的研究，我们还研究了多维空间中的p-Laplace型GP方程，通过分析p-Laplace算子相应的Gagliardo–Nirenberg不等式的达到函数与相应极限方程基态解以及与极限方程在特定范数下的解的关联，有效地避免了p-Laplace极限方程唯一性尚不清楚的困难，成功建立了p-Laplace型质量临界的GP方程Lp约束基态解的最优能量估计和精确的渐近性态。.关于双组份BEC对应的GP方程组，我们研究了(I)：组份内和组份间均为吸引相互作用以及(II)：组份内为吸引而组份间为排斥相互作用的GP方程组约束极小能量解与性质。我们的结果表明，情形(I)下的GP方程组，其组份内和组份间的吸引相互作用参数会共同影响解的存在性、唯一性以及解渐近行为；而情形(II)下的GP方程组，只有组份内的吸引相互作用参数会影响GP方程组解的存在性和渐近行为。并且，我们在多项式位势下分别建立了两种情形下GP方程组约束极小能量的最优估计以及解的渐近行为。对于带一般幂次位势（含负幂次）的GP方程组， 我们研究了解的存在性和稳定性。.此外，我们还开展了约束变分极小化方法在核磁医学图像中的应用以及相关偏微分方程的数值模拟和计算等方面的应用研究。