两类非线性椭圆型偏微分方程中的若干问题

本项目主要研究以量子物理和几何为背景的两类非线性椭圆型方程中的一些问题。对来源于量子物理中非线性Schr?dinger方程（NLS方程）驻波解研究的一类非线性椭圆型方程即所谓的定态NLS方程，研究某些特殊位势对方程解的存性和性质的影响、分析解的分歧性质，并对相应的双调和问题建立类似的结果；在此基础上，我们拟研究与定态NLS方程解相对应的含时NLS方程的驻波解的稳定性；对具有与Poisson方程耦合的NLS方程即所谓的非线性Schr?dinger-Poisson方程（NSP方程），当非线性项指标在特定范围时，寻求新的方法研究其解的存在性；对具有奇异位势的NSP方程，研究其束缚态解或非球对称解的存在性；对具有含参数位势的NSP方程，讨论其解对参数的依赖性；对源于几何中预定曲率问题的完全非线性的k-Hessian方程，我们期望（至少对某些k）利用变分的思想来研究其有关解的唯一性和解的水平集的凸性

该项目围绕一类具有重要物理背景的非线性Schrodinger方程（组）和一类具有几何背景的完全非线性椭圆型方程解、变号解、解的各种性质（如解衰减性、渐近性、水平集凸性等）进行了系统的研究，完成了预定的研究目标。代表性结果概述如下：.对于单个稳态的非线性Schrödinger (NLS)方程，在常位势的情形，我们将超线性问题有关变号解的能量性质很好地推广到了渐近线性的问题，并发现当NLS方程含有变号位势时，其变号解的能量性质与常位势情形有着本质的不同（如解的最低能量与Nehari流形上的约束最小解的能量不相等），在适当的条件下我们证明了含变号位势的NLS方程的束缚态解和基态解的存在性，讨论了变号解的能量性质；对于一类具有临界频率的NLS方程，通过简单的变分方法我们分析了当非线性项的增长指标逼近质量临界指标时，解的集中和爆破现象。此外，我们还研究了一般的非线性Schrödinger方程(拟线性Schrödinger方程)的驻波解，建立了一类同时具有临界增长和Hardy位势的拟线性Schrodinger方程驻波解的存在性。.对于高维空间中具有非零边界条件的Gross–Pitaevskii（GP）方程，我们在三维空间中给出了GP方程行波解稳定性的严格数学证明，分析了行波解的稳定性与行波速度之间的关系，给出了判断行波解的稳定性的判决条件。.对于Schrödinger-Poisson (SP)方程组，讨论了位势阱深度以及非局部项系数对解的存在性和性质的影响，建立解的先验估计和衰减估计，并分析了解关于相应参数的渐近性态；研究了SP方程组在非线性项具有小扰动时至少两个解的存在，其中一个具正的能量而另一个则具负能量，值得一提的是我们允许非线性项的增长阶在1和2之间这一难以处理的情形，并且我们给出了扰动项小性的一个显式界；此外，我们还讨论了具有奇异位势的SP方程组非球对称解、无穷多负能量解的存在性等等。.在完全非线性椭圆型方程方面，我们找到了环形区域上一般的完全非线性椭圆方程 F(D^2u,Du,u,x)=0的Dirichlet边值问题解的水平集严格凸的充分条件,该条件比已有的结果更广（如: 我们允许算子F为平均曲率算子，而已有的结果则不能）。此外，还得到了水平集主曲率的下界估计，这是凸性研究更为细致具体的刻画，以往鲜有这样的结果。该项目部分资助了博士生4人硕士生5人博士后3人