带间断非线性项椭圆型偏微分方程

In this project we mainly invistigate those nonlinear elliptic equations which have important physical background.For instance,we will study the nonlinear free boundary problems related to steady vortex solution of Euler equations describing ideal incompressible fluid and the nonlinear elliptic equations derived from model related to equilibrium of a plasma confined in a toroidal cavity(a Tokamak machine). The nonlinear terms of those equations have the discontinuity and were rarely studied in the past. Apart from their physical and application background, the study of those equations itself is of great interest since new techniques are needed to deal with such nonlinearities. We will study the existence of solutions concentrating at one or a couple of points when the parameter is small, which will derives the existence of classic solution approximating steady point vortex solutions.We will also study the orbit stability of standy waves of nonlinear Schrodinger equations. Our research will enrich the existing theory of calculus of variation and partial differential equations.

本项目主要研究具有重要物理背景的非线性偏微分方程，如研究描述不可压理想流体的Euler方程定常点涡解的非线性自由边值问题和与环形腔体（托克马克装置）中等离子的平衡态相关模型所导出的非线性椭圆型方程。这些方程具有间断非线性项，以往的研究很少涉及。撇开这些问题的物理和应用背景，对这些方程的研究需要发展新的工具，其本身也是有意义的。我们将研究当某个参数很小时解集中在一个或几个点的存在性，从而给出定常点涡解的光滑逼近解。我们还将研究非线性Schrodinger方程驻波解的轨道稳定性等。我们的研究将丰富变分学和偏微分方程的现有理论。

不可压欧拉方程是描述理想流体运动的方程， 对其解的存在性等的研究一直是偏微分方程中的重要课题。定常解的研究对带时间的演化方程Cauchy问题等解的长时间行为是必不可少的。 非线性Schrodinger方程在非线性光学，量子场论等领域有重要应用。非线性Schrodinger方程的Cauchy问题的研究吸引了许多数学家的注意，投身到该邻域的研究，如R.Teman，J.Bougain, C.Kenig, T.Tao 等。非线性Schrodinger方程的驻波可以化成相应非线性椭圆方程正解的存在性，近几十年来该领域的研究很活跃，是偏微分方程的重要研究课题。.. 在不可压欧拉方程定常涡解的研究方面，我们得到了下面结果： . .1. 我们讨论了运用光滑解来逼近带奇性的定常解问题，这方面的结果会对了解奇性的形成有帮助，相关论文已得到国外同行的多次引用和推广；..2. 在不可压欧拉方程定常涡补丁解(vortex patch)的存在方面,对任给Kirchoff - Routh 函数的非退化临界点，得到了集中在其附近的欧拉方程定常涡补丁解。最近，我们证明了当区域是凸的时候，只有唯一一个定常涡补丁解。我们的结果解决了美国科学院院士A.Friedmann 和合作者30多年前提出的开问题。..在非线性Schrodinger方程研究方面，我们得到了下面结果：..1．非线性Schrodinger方程Cauchy问题, 在分数次Sobolev空间中研究了非线性Schrodinger方程Cauchy问题解对初值的连续依赖性，解决了法国T.Cazenave 在其专著中提出的开问题。T.Cazenave 和他的合作者推广了我们的结果。.2．我们利用约化方法，通过建立局部的Pohozaev不等式， 在较弱的假设下证明了集中在几个点附近的峰解（multi - bump）的唯一性，我们的条件基本达到了最优。..共发表论文10篇，培养博士毕业生3人，博士后2人。