非紧性椭圆问题多解存在性的研究

In this program, we will consider three kinds of non-compactness elliptic problems: elliptic problem involving critical Sobolev growth on the bounded domain； elliptic problem with bounded potential function on R^N and elliptic problem involving critical Sobolev growth on R^N. They are all typical non-compactness elliptic problems. The condition of compactness plays a crucial role in Variational Method. The main difficult of those problems: The corresponding functionals do not satisfy the global (P.S.) condition, then we cannot directly prove the existence and multiplicity of solutions for these problems by the variational method. In order to overcome the lack of compactness, we need to find some ways to restore a certain compactness to replace the (P.S.) condition. In the project: we will use the approximation of subcritical problems to solve elliptic problem involving critical Sobolev growth on the bounded domain; we will use the approximation of the problems adding a coercive potential to solve elliptic problem with bounded potential function on R^N; we will use the Lyapunov-Schmidt finite dimensional reduction to solve elliptic problem involving critical Sobolev growth on R^N.

在本项目中，我们将考虑三种类型紧性缺失的椭圆问题：有界区域上临界增长的椭圆问题，全空间R^N上带有有界位势的椭圆问题，R^N上临界增长的椭圆问题，它们都是典型的紧性缺失椭圆问题。这些问题的主要困难在于相应的泛函不满足全局的(P.S.) 条件，那么我们无法直接利用变分方法来证明这些问题解的存在性和多重性。为了克服紧性的缺失，我们就需要寻找一些途径来设法恢复某种紧性条件来代替(P.S.) 条件。而在本项目中：我们将采用次临界问题逼近的思想来解决有界区域上临界增长的椭圆问题；我们将采用通过添加强制位势所得问题逼近的思想来解决R^N上带有有界位势的椭圆问题；我们将采用Lyapunov-Schmidt有限维约化方法来解决R^N上临界增长的椭圆问题。

在变分方法中紧性条件就是Palais-Smale条件。这一紧性条件在变分法中发挥着至关重要的作用。然而在实际应用中，很多问题会出现失去紧性的现象，也就是相应的 Sobolev嵌入不再是紧嵌入。紧性缺失的椭圆问题有着悠久的历史、产生了很多重要的应用。这类问题是非线性分析和偏微分方程领域中十分重要的课题且具有重要的理论意义。它的主要困难在于相应的泛函不满足全局的(P.S.) 条件，那么我们就不能直接利用临界点理论去得到问题多解的存在性。当我们研究紧性缺失的问题时，克服紧性缺失就成为了首要的困难。这时，我们就需要寻找一些途径来设法恢复某种紧性来代替(P.S.) 条件。在本项目中，我们针对几个具体紧性缺失的椭圆问题给出寻找一些途径来设法恢复某种紧性来代替(P.S.)条件。我们主要研究内容为：利用有限维约化方法研究椭圆方程及方程组；非线性Kirchhoff方程的研究；非线性项超临界增长Schröinger方程解的研究；非线性Dirac方程的研究。我们主要研究得到他们多解的存在性，甚至是无穷多解。