曲线流研究及其在凸几何中的应用

Geometric flow theory which comes from geometry, topology, natural phenomena and some practical problems has become one of the key fields of modern mathematics that bears a close relationship with convex geometry. This project plans to study some problems of curve flows and their applications in convex geometry. To be more specific, we will study the non-local geometric flows of non-convex plane curves and space curve flows and so on, try to obtain the Grayson-style theorems for Gage's area preserving flow[12] and the Jiang-Pan convex curve flow[21] under some suitable initial conditions. By deeply studying curve flows we can explore the relationship between global differential geometry properties and topological structure of curves. In the process of studying curve flows, we will study geometric inequalities related to curvature flows and try to prove the higher dimensional Green-Osher style inequalities. In addition, another purpose of this project is to use support function to describe the positive center set of convex bodies in the Euclidean space and to investigate the asymmetry of (constant width) convex bodies in order to improve the understanding of the Blaschke-Lebesgue problem in higher dimensional spaces.

源自几何学、拓扑学、自然现象或实际问题的几何流理论已经成为现代数学的重要研究内容，它与凸体几何学有着密不可分的联系。本项目计划研究曲线流理论中一些问题及其在凸几何中的应用。具体地讲，我们将研究平面上非凸曲线的非局部几何流和空间曲线流等，重点对Gage[12]的保面积流和Jiang-Pan[21]的凸曲线流探索在初始曲线满足何种非凸条件时可以成立类似的Grayson定理。通过深入研究曲线流来探索曲线的整体几何性质与其拓扑结构之间的关系。在研究曲线流的同时挖掘与曲率流相关的几何不等式，设法证明高维欧氏空间中Green-Osher型不等式。此外，本项目的另一目的是利用支撑函数细致刻画欧氏空间中凸体的正中心集，研究（常宽）凸体的不对称性，继而帮助人们理解高维空间中的Blaschke-Lebesgue问题。

自2017年1月到2020年12月，我们从两方面展开本项目研究。一方面，重点研究各种几何流，尤其是平面曲线的非局部几何流，另一方面，考虑将曲率流研究与几何不等式研究和凸体几何学研究结合起来，获得凸几何分析中一些问题的进展，重点关注常宽凸体及相关的几何极值问题。在几何流方面，我们研究了平面上非局部几何流和保持长度不变的crystalline曲率流等，重点对带约束条件的保面积流和保长度流作了深入研究，刻画保持k-阶宽度的平面凸曲线保长度流。通过深入研究曲线流获得曲线的几何量在曲线演化过程中的变化规律，进而获得对曲线拓扑的理解。在研究曲线流的同时, 研究各种几何不等式，比如平面上Green-Osher不等式、凸体的等周差、三维空间中的log-Brunn-Minkowski不等式等，凸体的正中心集的刻画，凸体的内外平行体的性质，等等。此外，研究常宽凸体的性质，讨论高维空间中的Blaschke-Lebesgue问题与曲率流之间的关系，对这个长期未获解决的问题有了新的认识。. 在学术交流方面，我们多次邀请国内外同行教授来访，并作学术报告，进行学术交流和问题探讨；多次应邀访问其他科研院所，参加学术会议，给与会人员作学术报告。在人才培养方面，本项目组先后培养毕业了多名硕士和博士研究生，出站一名博士后研究人员，目前有在读博士生4人，在读硕士生2人，其中一人是外国留学生