双色分拆函数的算术性质

The theory of integer partition is an interdisciplinary research area involving both combinatorics and number theory, and has been being an important research topic in combinatorics over the past few decades. Many well-known experts in combinatorics are concerned about progress in this area (Stanley, Andrews, and Berndt). The arithmetic properties of partition function, after the pioneering work of Ramanujan, has become one of the most important research topics in the theory of partition. In recent years, using the theory of modular forms to study the arithmetic properties of partition function, Ono, and other people have made a significant breakthrough. . This project mainly studies the arithmetic properties, such as the Ramanujan type identities and congruences of several 2-color partition functions. The specific contents include: (1) To explore the arithmetic properties of l-regular partition pairs by applying the theory of modular forms; To study, when l is small, the arithmetic properties of the corresponding l-regular partition pairs by using q-series. (2) To examine the arithmetic properties of a 2-color partition function, but mainly focus on a subsequence''s generating function with no closed formula.

整数分拆理论是组合与数论交叉的一个研究课题，几十年来一直是组合数学中的一个重要研究方向，很多知名组合专家都在关注这一领域的进展（Stanley、Andrews以及Berndt）。分拆函数的算术性质自Ramanujan的开创性工作后，已成为分拆理论的一个重要研究内容。近些年来，Ono等人利用模形式理论研究分拆函数的算术性质已取得了重要突破。. 本项目主要研究一些双色分拆函数的算术性质，如拉马努金型的恒等式及同余式等。具体内容包括：（1）利用模形式理论探讨l-正规分拆对函数的算术性质；对于l取较小值的情形，还采用q级数来研究。（2）考察一个双色分拆函数的算术性质，重点研究一子列的生成函数的算术性质，该子列的生成函数没有封闭的表达式。

分拆函数的算术性质是分拆理论的一个重要研究内容。本项目主要研究两类分拆函数的算术性质，具体内容如下：.（1）项目组研究了l-正规分拆对函数B_l(n)。对于l=4，我们得到了两个模3同余的无穷子列，我们还刻画了B_4(n)模2和模4同余的情形。对于给定的自然数k，我们进一步证明了对几乎所有的n， B_4(n)均被2^k整除。对于l=7， 我们利用Ramanujan的两个次数为7的模等式，得到了一个模3同余的无穷子列，并给出了Furcy和Penniston关于7-正规分拆函数的两个模3同余的无穷子列的初等证明。.（2）项目组研究了一类特殊的三色分拆函数b(n)。我们得到了b(3n+2)的生成函数以及b(3n+2)被3整除的结论。为此，我们定义了两个统计量，从组合角度解释这个同余式。我们还研究了b(3n+1)的生成函数，利用模形式理论得到一些有趣的结论。