模形式，Theta 函数和特殊分拆函数的算术性质

数的分拆函数的研究是数论的一个分支，欧拉在他的名著中给出了分拆函数的某些性质，是Ramanujan 的关于分拆函数的同余的发现及其猜想才激发了数论学家们如 Hardy, Watson, Mordell 等对这个课题的研究。最近，以 Ken Ono 等为代表的数学家用模形式的理论解决了数的分拆中的几个有名的问题。一些数学家开始关注这个领域并提出了一些新的问题，它们涉及到模形式，Ramanujan 的 Theta 函数，连分数，Galois 表示，二次型，椭圆曲线的理论。本项目主要研究数的三次分拆，它由Hei-Chi Chan 教授引入并由 Byungchan Kim 教授命名，因它涉及到 Ramanujan 的三次连分数。Hei-Chi Chan教授和另外一些数学家研究了这个分拆函数的某些算术性质，项目申请者也对此开展了研究。在这些研究的基础上本项目拟进一步研究该函数的算术性值。

分拆函数是数论的重要分支之一，模形式和 theta 函数不仅是数论中的重要工具也是主要研究对象。在本项目里我们按照计划书研究了与分拆函数、模形式和 theta 函数相关的四个问题。我们首先用数学实验的方法寻找三次分拆的高次幂的 Ramanujan 型同余的例子。我们编写了相关的程序，然后利用多台计算机测试了一百万以内的自然数的三次分拆的高次幂的整除性的可能，我们获得的实验数据不能证实预期的结果；我们按照计划研究了模形式及其相伴的 Galois 群的表示理论，我们首先研究了权为 2,3,4 的 CM 模形式系数的算术，我们对 M. Schutt 的权为 3 的 CM 模形式进行了详细的研究，我们获得了对每一个这样模形式的例外素数的分类，将 Serre-Swinnertondyer 的同余推广到新的情形。我们研究了3 次正规分拆函数相伴的 Galois 群的表示的算术，我们获得了一个联系三次正规分拆函数和 K3 曲面的同余式。我们针对项目中的第三个问题研读了 Zwegers 的博士论文以及 Bringmann-Ono 的两篇文章，我们通过仔细研究三次分拆函数，发现是 mock theta 函数而不是通常的 theta 函数关联到三次分拆，这打破了我们项目计划书的预期。Mock theta 函数和一般的 hamonic Maass form 的理论是当前数论的重要热点之一，我们期望通过后续的研究发现与三次分拆相关的 mock theta 函数的恒等式。最后我们研究了分拆函数的 parity 问题，对这个当前分拆函数理论中的最大的猜想，我们积累了一些研究研究这个问题的经验，在此基础上对模 3 的分布问题作了一点非常小的改进。