带权分拆函数和艾森斯坦级数商的算术性质

Integer partition is an important research object in Combinatorics. The arithmetic properties of partition functions have widely attracted many scholar's attention and research after the pioneering work of Ramanujan. The main goal of this project is to investigate the arithmetic properties of two weighted partition functions and those of quotients of Eisenstein series with level 2 by using the theory of modular forms and q-series. The specific contents include: . (1) To explore the arithmetic properties of one kind of partition functions arised from Stanley's partition function;. (2) To study the arithmetic properties of the number of distinct parts in partitions with designated summands and to introduce suitable crank to give a combinatorial interpretation of the neat congruences satisfied by this partition function;. (3) To investigate the arithmetic properties of quotients of Eisenstein series with level 2.

整数分拆是组合数学中一类重要的研究对象。分拆函数的算术性质自Ramanujan 的开创性工作之后，便一直为众多学者所广泛关注与研究。本项目主要利用模形式理论和q-级数研究两个带权分拆函数以及level为2的艾森斯坦级数商的算术性质。具体内容包括：. （1）探讨由Stanley的分拆函数派生出来的一类分拆函数的算术性质；. （2）研究带指定部分的分拆中不同部分的个数所满足的算术性质，通过引入合适的秩给出该分拆函数所满足的简洁同余式的组合解释；. （3）考察level为2的艾森斯坦级数商的算术性质。

带权分拆函数是分拆同余理论中一类极其重要的研究对象，自Andrews提出spt函数以来一直备受关注。本项目取得的主要进展有：（1）研究了n的带指定部分的分拆中不同部分的个数PD_t(n)及n的部分只允许为奇数的带指定部分的分拆中不同部分的个数PDO_t(n)的算术性质，得到了一些重要结论；（2）利用雅可比的四平方和公式及拉马努金的两个恒等式给出(q;q)_\infty ^8的展开式，从而给出p_{-3}(11n+7)被11整除的拉马努金风格的证明，其中p_{-3}(n)表示n的3色分拆的数目；（3）与合作者建立了overcubic partition pairs的模9同余性质，加强了本人之前发表的关于模3的同余性质；（4）建立cubic partition pairs的模27同余性质及两个无穷同余子列，同时给出两个有趣的关于模81同余的猜想；（5）与合作者给出了cubic partition pairs的模3高次幂的同余性质；（6）与合作者建立了overpartition的4个新的模5同余性质，并提出相应的模25同余性质的猜想；.在项目执行期间，共完成SCI期刊论文6篇，其中5篇已正式发表，1篇已在线发表。