p-Laplace 方程解的存在性与爆破分析

In this project,we are devoted to investigating the existence and blow-up behaviors of solutions to p-Laplacian equations with modified term.It is to be devided three cases:p between 0 and 1;p between 1 and N;p=N...First of all,we are concerned with the existence and blow-up analysis of solutions to p-Laplacian equations involving the the nonlinear term with the critical growth or asymptotical linear；Secondly,we are interested in the existence and blow-up behaviours or other asymptotic hehaviours to coupled N-Laplacian systems；And then,we will study the existence of solutions and its properties to fractional p-Laplacian equations；At last,we are going to research the existence of sulotions and its properties to p-Laplacian equations with p between 0 and 1.As far as we know，for p between 0 and 1,there are no variational frameworks and corresponding critical theories,and this is an interesting problem.

本项目拟主要研究带有“修正项”的p-Laplace方程(组)解的存在性与解的爆破分析.我们分三种情形研究:p属于0到1;p属于1和N;p等于N.. 首先，我们拟研究带有“修正项”的p-Laplace方程(组)解的存在性和爆破分析，其中非线性项在无穷远处是临界增长、渐近线性；其次，我们拟研究N-Laplace方程(组)方程解的存在性和爆破分析;再次，我们拟研究分数阶p-Laplace方程解的存在性及其性态;最后，我们还拟研究p在0到1之间的p-Laplace方程(组)解的存在性及其性态.据我们所知，p属于0到1之间，还没有变分框架及相应的临界点理论，这是一个有趣的问题.

本项目研究p-Laplace方程解的存在性和爆破分析，该方程来源于图像修复过程，也用来描述不可压理想流体穿过可渗透性媒介的过滤过程和反应扩散过程，也出现在非牛顿力学，非线性弹性力学. 首先，本项目研究了Schrodinger-Poisson方程解的存在性，平面Schrodinger-Newton方程组解的存在性和渐近行为. 其次，我们用变号Nehari流形和下降流不变集研究了平面Schrodinger-Newton方程组变号解的存在性. 再次，我们用L2约束极小化方法研究了平面Schrodinger-Newton方程组规范解的存在性. 最后，关于p-Laplace方程，我们用L2约束下的山路定理研究了规范解的存在在性. 我们指出p在0到1之间研究没有进展. 该项目三年共发表14篇文章，其中SCI期刊论文13篇，中文核心期刊1篇，发表在数学学报中文版. 研究结果中，p-Laplace方程L2规范解的存在在性发表于Annals of Functional Analysis杂志，结果体现临界点理论的前沿进展.