新型不动点定理及其在时滞分数阶微分方程的应用

Fractional differential equation is a generalization of the ordinary differentiation to arbitrary non-integer order, which is more appropriate and more efficient in the modeling of Mechanics (theory of viscoelasticity and viscoplasticity), Bio-Chemistry (modeling of polymers and proteins), Electrical Engineering (transmission of ultrasound waves), Control Theory (implementation of fractional order controllers), etc. The project focuses on the following three primary coverages: (1)We will build some new fixed point theorems for some special nonlinear operators in continuous function spaces or piecewise continuous function spaces. The fixed point theorems we construct will be matched with the solution operators for the fractional differential equations;(2) The main research work will cover the exsitence and uniqueness of solution or periodic solution for the fractional order hyperbolic partial functional differential equations、fractional order hyperbolic partial functional differential inclusions、fractional order impulsive partial functional differential equations, and fractional order impulsive partial functional differential inclusions;(3)Also， we will depict the effects of the delay and impulse to the dynamical behaviors by simulations. This research would improve and generalize the theory of fractional order differential equations、the theory of nonlinear operator, especially for the fixed point theory. There are no international research report about how,the delay and impulse,to effect the dynamical behavior of fractional partial functional differential equations.

分数阶微分方程是一类允许非整数阶导数和积分的数学模型，是近年来在粘弹性、粘塑性力学理论以及控制论中分数阶控制器等领域涌现出来的一类重要时间演化系统。本项目拟以铸造适合研究特定非线性算子的新工具为出破口，研究以下三个内容：（1）分别在连续函数空间和逐段连续函数空间中，建立适合分数阶微分方程解算子的新型不动点定理；（2）以分数阶双曲型偏泛函微分方程、分数阶双曲型偏泛函微分包含、分数阶脉冲泛函微分方程以及分数阶脉冲泛函微分包含为对象，研究其特定解（周期解等）的存在唯一性；（3）用数值模拟方法，探索脉冲、时滞量等参数对这些微分方程或包含的特定解的影响规律。该研究结果将丰富和拓广经典的非线性算子理论，也是不动点理论的新发展，同时，也将丰富和发展时滞分数阶微分方程的基本理论。探索脉冲、时滞等参数如何影响分数阶偏泛函微分方程的特定解的相关工作，国内外尚未见报道。

分数阶微分方程是一类允许非整数阶导数和积分的数学模型，是近年来在粘弹性、粘塑性力学理论以及控制论中分数阶控制器等领域涌现出来的一类重要时间演化系统,在考虑延时适应性的情形下，时滞分数阶微分方程模型就应运而生了。时滞分数阶微分方程在力学理论、生物化学、电子工程以及控制论中有着广泛应用。本项目以建立适合研究特定非线性算子的新工具为出破口，研究了以下三个内容：（1）分别在连续函数空间和逐段连续函数空间中，建立了适合分数阶微分方程解算子的新型不动点定理；（2）以分数阶双曲型偏泛函微分方程、分数阶双曲型偏泛函微分包含、分数阶脉冲泛函微分方程以及分数阶脉冲泛函微分包含为对象，研究了其特定解（周期解等）的存在唯一性；（3）用数值模拟方法，探索了脉冲、时滞量等参数对这些微分方程或包含的特定解的影响规律。本项目组在新型不动点定理、分数阶微分方程解的存在性、唯一性等方面取得了丰富的研究成果。取得的研究结果将拓广经典的非线性算子理论，也是不动点理论的新发展，同时，也将丰富和发展时滞分数阶微分方程的基本理论，为分数阶微分方程的相关应用领域，如力学、生物化学、电子工程以及控制论等领域的发展奠定一定的理论基础。项目执行期间项目组成员发表SCI论文6篇，项目负责人作为参与人获得湖南省自然科学奖二等奖一项。