梯度流方法在抛物方程系数重构问题中的应用研究

The gradient flow method is an important numerical optimization method in recent years. This method first needs to construct an appropriate objective energy functional for the problem in study, then via the steepest descent method to get the gradient flow equation, finally approaches the minimizer of the objective functional by solving the gradient flow equation numerically. The method (such as Sobolev gradient flow and total variation flow) has achieved great success in solving the image denoising and image deblurring problems. Comparing with the traditional optimization methods, the gradient flow method has a better convergence speed.. This project is planned to study two important coefficient identification problems in parabolic equaitons and gives an explore for the graident flow method. We mainly study the regularization theory and numerical implement for the gradient flow method as a regularization method, including the uniqueness of the problems and asymptotic behavior of the solutions of the gradient flow equations, the problems on the convergence of the numerical solutions for the gradient flow equations to the minimizer of the energy functional.

梯度流方法是近年来发展的一种重要的数值优化方法。该方法首先构造所研究问题的合适目标能量泛函，由最速下降法得到梯度流方程, 最后通过求解梯度流方程来逼近目标泛函的极小值。这一方法（如Sobolev梯度流、总变分流）在求解图像去噪去模糊反问题中取得巨大的成功。相对于传统优化方法，梯度流方法具有更好的收敛速度。. 本项目旨在以两类具有重要应用背景的抛物方程系数确定问题为研究对象，对梯度流方法进行探索。主要研究梯度流方法作为正则化方法的一些理论问题及数值实现。内容包括梯度流方程解的唯一性及渐近性态，梯度流方程数值解关于能量泛函极小值逼近的收敛性等数值理论问题。

本项目研究内容主要包含两个方法，一方面主要讨论两类系数反问题的解的唯一性，给出Tikhonov类的能量泛函并计算梯度，进而构造梯度流方程作为渐近正则化方法。将梯度流作为一种正则化方法做了进一步深入研究，具体做到了一般算子正则化方程的理论上，设计出各种预条件迭代方法；另一方面，分数次正则化方法的引入是为了消除正则解的过度光滑性。研究成果发现，预条件梯度流方法与分数次正则化之间有着紧密的关系，通过预条件梯度流方法可以设计出一些分数次正则化方法，并建立一般分数次正则化方法的理论。