超过程的极限理论

Superprocesses are high density limits of branching Markov processes. Superprocesses arise naturally in many applications and thus have been intensively studied in recent years not only by probabilists, but also by researcher in other fields such as partial differential equations. We propose to study limit properties, including strong law of large numbers, central limit theorems, moderate and large deviations, of superprocesses with general spatial motions and general branching mechanism (including non-local branching mechanism). We will also study limit theorems for superprocesses in random environments, and structure of solutions of nonlinear differential equations related to superprocesses. For the study of superprocesses with non-local branching mechanism, one needs to study the infinitesimal generator of the underlying spatial motion under non-local perturbation. We will apply the results of non-local perturnation to the study of superprocesses with general branching mechanism.

超过程是分枝马氏过程的高密度极限过程，在解决诸多实际问题中有着广泛的应用和需求，因此，超过程成为近年来概率论及偏微分方程等方向的研究热点之一，受到了广泛的关注和深入研究。我们计划研究具有一般底过程及分枝机制（包括非局部分枝机制）的超过程的强大数律、中心极限定理、中偏差与大偏差结果等。我们还将研究随机环境中的超过程的极限理论，并用概率方法研究与超过程相关的非线性偏微分方程的解结构。研究具有非局部分枝机制的超过程首先需要对底过程的无穷小生成元算子在非局部算子扰动下的性质进行研究。我们将把对非局部扰动的研究成果应用到对具有一般分枝机制的超过程的研究上。

超过程来自于实际问题, 具有很强的背景, 近年得到广泛研究。我们研究了具有一般底过程及分枝机制（包括非局部分枝机制）的超过程的强大数律、中心极限定理、大偏差结果及超过程的轨道性质等。在上临界情形，我们得到了强大数律及中心极限定理方面的系列结果；在临界情形，我们提出了双脊柱分解定理, 这一定理对于证明条件极限是指数随机变量时非常有效；在下临界情形，我们证明了超过程的Yaglom极限存在，并找出了所有拟不变分布。我们还建立了超布朗运动的支撑的最大值的极限定理以及相应非线性偏微分方程解的极限定理。项目共发表文章14篇(包括3篇录用文章)，还有3篇文章已经投稿且在审理中，完成了3篇文章的初稿。