非线性Kohn-Sham方程可靠性高精度数值方法的研究

The Kohn-Sham equation is an important model that describes the substructure of matter, in particular,the electronic structure,whose eigenfunctions have some local singularity (high oscillation). For this problem,most of existing numerical methods are not able to compute the large scale system since they are quadratic or cubic scaling methods with respect to the number of particles of the system. This projection consists of three parts. In the first part of this project, the flexibility of the nonstandard finite element methods will be explored to design new schemes where the a priori knowledge will be possibly incorporated into the finite element spaces. This may result in a new method with the small degrees of freedom but high accuracy. The lower bounds of the eigenvalues for the Kohn-Sham equation will be equally investigated, this will lead to an a posteriori error estimate for the approximate eigenvalue after the upper bounds of the eigenvalues are derived based on some postprocessing. In terms of the lower and upper bounds, the reliability of the approximation solution can be evaluated. In the second part,a novel adaptive method for the eigenvalue problem will be proposed, where the a priori knowledge and the speciality of the problem are able to be incorporated into the triangulation or the refinement of the mesh. The third part will be devoted to the combination of these two new methods to construct new adaptive nonstandard finite element methods for the nonlinear eigenvalue problem. Finally, the convergence and optimality of this adaptive method will be analyzed and proved for the eigenvalue problem. The goal of this project is to make siginificant progress on the reliable high accuracy numerical methods and their corresponding theories for the nonlinear Kohn-Sham equation.

Kohn-Sham方程是描述物质微观结构特别是物质电子结构的重要模型，其特征函数具有局部的奇异性（高振荡性）。对于这一问题，目前大多数计算方法的计算复杂度相对于体系粒子数都是2次甚至3次的标度，因而很难处理大的体系。本项目将充分利用非标准有限元方法的灵活性，研究将先验知识有机的嵌入到离散空间中，构造整体自由度少但精度高的新型有限元方法；研究非线性Kohn-Sham方程特征值的下界逼近，再通过重构的方法计算特征值的上界，这样得到近似特征值一个后验估计，而且可以评估近似解的可靠性（因为同时知道上界和下界）；设计能将问题的特性和先验知识嵌入到网格剖分和加密过程中的特征值问题新型自适应有限元方法；将上述离散方法有机结合，提出非线性特征值问题新型自适应非标准有限元方法并分析其收敛性和最优复杂性。总体研究目标是在非线性Kohn-Sham方程的可靠性高精度数值方法及其理论方面取得突破。

提出并证明了非协调元产生特征值渐近下界的一个充分条件，和获得了2m阶椭圆偏微分方程特征值的确切下界，其中m不大于空间维数；基于非协调元的离散特征函数，利用投影平均插值算子和Rayleigh商，提出了一种简单的后处理方法，获得特征值的渐近上界；将渐近下界和上界相结合，提出一种计算特征值的高精度算法；构造了整体自由度少但精度高的有限元方法。建立了一个设计和分析线弹性力学问题混合有限元方法的新框架，构造出以多项式为形函数、应力严格对称、有最优收敛性、容易实现的混合有限元，并给出严格的数学分析。这解决了长期悬而未决、具有挑战性、异常困难的问题，即线弹性力学问题混合有限元方法的构造。因此项成果，中国计算数学学会将“首届青年创新奖” 授予项目负责人，以表彰他“在弹性力学方程组混合有限元方法所作出的奠基性贡献。”该成果获得D. N. Arnold 教授等国际学者的肯定。发展了一个和经典对偶论证不同的技巧，证明了四阶椭圆边值问题低阶有限元解的 误差和Galerkin投影的误差之和最多只有二阶收敛性，从而解决了四阶问题低阶有限元的 误差理论问题。 首次证明了椭圆障碍问题（当障碍为线性函数时）线性元自适应方法的最优收敛性。在任意维空间张量积网格上，构造了任意阶椭圆边值问题最低阶协调有限元方法；在二维四边形网格上，构造了二阶椭圆边值问题任意阶非协调元。发表论文26篇，其中Numerische Mathematik 3篇， SIAM J Nume Anal 2篇， Math Comp 1篇，其他杂志20篇。课题组获得国际国内学术会议邀请报告40余个，组织学术会议和暑期活动等学术活动16个，其中北京大学海外名家讲座 2个。邀请了包括美国明尼苏达大学Douglas N. Arnold教授和意大利帕维亚高等研究院Franco Brezzi教授在内的40余名国际国内知名学者到北京大学交流访问。项目负责人晋升为教授，并被授予中国计算数学学会“首届青年创新奖”，且获得国家杰出青年基金项目(2016年)。2人获得博士学位，1人获得硕士学位，2人获得国家奖，1人获得校长奖。