四阶非线性方程的高精度数值解法

High order numerical methods are developed to solve nonlinear fourth-order equations. First, high-order resolution method for the fourth-order integro-differential equations with a weakly singular kernel will be considered. Gauss-type numerical integration formula will be used to design high-order singular integration formula. The equation is then discretized by the spectral method. Then, Fast iterative algorithm will be constructed to solved the discretized algebraic system. Secondly, the spectral and spectral element approximation of nonlinear fourth-order Schrödinger equation will be considered. By constructing appropriate basis functions, the algebraic system can be set in a simple form and will be solved by constructing some fast iterative algorithm. The convergence, stability, and error estimate of the proposed schemes will be analyzed. Through the research, it is expected that the proposed method can be effectively applied to some relevant real-life scientific problems both theoretically and numerically.

本项目研究四阶非线性方程的高精度数值求解格式。首先研究带有弱奇异核积分项的四阶积分微分方程的高精度数值求解格式，利用高斯型数值积分公式构造高精度的奇异积分计算公式，再结合谱方法对方程进行离散，然后构造快速迭代算法对离散代数系统进行求解。其次发展四阶非线性薛定谔方程的谱与谱元逼近格式，通过构造恰当的基函数，使离散问题所对应的代数系统具有简洁的表达形式，同时对离散得到的非线性代数系统构造快速的迭代算法进行求解。对构造的逼近格式进行收敛性、稳定性、误差估计等理论分析。通过课题的研究, 力争为实际科学计算中相关问题的解决提供行之有效的理论参考及数值求解方法。

科学和工程技术等领域的许多问题都可用四阶非线性方程来刻画。自立项以来，我们对四阶非线性方程的高精度数值解法的研究，在四阶微分方程、积分微分方程、以及带弱奇异核积分项四阶积分微分方程的高精度数值求解方面获得了一些重要成果，主要研究结果总结如下：.1.针对两类带弱奇异核四阶积分微分方程，构造Jacobi数值积分和Legendre数值积分近似替代积分项，较好的避免奇异积分的影响，从而更有效地逼近精确积分，提高了整个问题的逼近精度。.2.针对夹持杆模型以及吊桥模型和铰链梁模型等四阶方程，构造了满足两类边界条件的Birkhoff插值基函数，得到具有稳定条件数的代数方程组，进而解得稳定、高精度的数值解。.3.针对五阶常微分方程以及二维双调和方程的谱元逼近，提出Schur补方法进行有效的求解；对带有3种不同类型边界条件的二维双调和特征问题，构造满足相应边界条件的基函数使得离散变分公式所对应的线性系统具有稀疏的系数矩阵，从而能有效求解。.4.针对四阶非线性薛定谔方程的高精度数值求解方面也取得了一些重要进展，如分裂多辛紧格式、高阶分裂谱逼近格式，部分相关研究成果已经投稿。. 通过这些问题的研究，对四阶非线性方程的理论和数值计算及相关问题有更加深入的了解，这为四阶非线性方程在相关工程领域上的应用打下坚实的基础。