解微分变分不等式的数值方法及应用

我们研究微分变分不等式问题的理论、数值方法以及在动态交通规划中的应用. 微分变分不等式问题是最优化问题或变分不等式问题和一个常微分方程，以及若干个初值或边值条件组成的系统，它为一些依赖于时间的问题，如交通规划中的动态用户均衡问题、带摩擦的多体动力系统问题、动态对策问题等提供了统一模型，在工程、物理、经济等领域受到广泛的重视. 然而，数学上这方面的研究却不是很多，已有的最优化、常微分方程、变分不等式问题的理论、算法又不能直接用来解该问题. 本项目中，我们对微分变分不等式问题进行新的、细致的理论分析，对已有的解优化问题、变分不等式的算法进行适当的改进，从而设计出解微分变分不等式问题的可行算法...本项目将所设计的算法应用到动态用户均衡问题，动态道路收费问题，并分析动态用户均衡和动态系统最优之间的关系.

在过去的三年中，围绕着项目申请书内容，课题组对（微分）变分不等式、数值优化开展研究工作，发表了学术论文50余篇，其中绝大多数被SCI,SSCI, EI等学术榜收录。我们的研究成果主要有以下几个方面：.1.充分利用实际应用问题优化模型的“可分结构”，设计出一系列解决可分凸规划问题的算法，并分析了算法的全局收敛性和收敛速度（或计算复杂性）；.2.对张量特征值问题和张量分解问题进行研究，设计了求解固体力学、量子力学、医疗（磁共振成像）、信号处理问题中张量特征值或张量分解的有效算法；.3.对交通均衡问题继续进行研究，提出了一些新模型并设计了求解方法，并对用户均衡和系统最优的关系(Price of Anarchy)进行了有效的分析；.4.对广义Nash均衡问题进行研究，设计了投影类算法、交替方向法、惩罚算法等有效算法，为新的研究课题打下坚实的基础。.总之，我们对项目申请书的部分研究内容进行了深入的探讨和研究，并进行了其他的研究工作，为今后的研究工作打下了坚实的基础。