基于分式模型的信赖域优化算法研究

In recent years, nonlinear optimization has been widely applied to various fields. In the nonlinear optimization problem, for some nonquadratic behavior is strong, more severe curvature change function, we often using non-quadratic models such as conic models to approximate..This project studies the trust region optimization algorithm based on the fractional model. This project intends to construct a class of fractional models with multiple parameter vectors, discuss its properties, and deeply study the trust region method with fractional model. Firstly, by discussing the Newton point and the steepest descent point of the fractional model trust region subproblem of the unconstrained optimization, a simple dogleg method for solving the subproblem is established, and the global convergence of the algorithm is studied and applied to solve the general constrained optimization problem. Secondly, by cyclically fixing the fractional coefficient part of the fractional approximation function, the fractional model trust region subproblem is transformed into a simple one-dimensional quadratic model subproblem, and a new approximate solution method for solving the subproblem is obtained. Thirdly, we search for an approximate solution to the new conic trust region subproblem in two or more mutually orthogonal directions, and then a new fractional model trust region algorithm based on alternating direction method for the unconstrained optimization problem is proposed. last, we study a hybrid algorithm of line search method, quasi- Newton method and fractional model trust region method..The fractional model method is a new type of non-quadratic model method. The design of the algorithm has many changes and has a lot of research space. The completion of this project will enrich and develop the theory and algorithm of nonlinear programming, and also provide a new numerical calculation method for engineers and technicians.

近年来，非线性最优化被广泛地应用到各个领域。对于一些非二次性态强、曲率变化剧烈的函数，经常采用锥模型等非二次模型来逼近。本项目研究基于分式模型的信赖域优化算法。.本项目拟构造一类含有多个参向量的分式模型，讨论其性质，深入研究分式模型信赖域算法。首先，通过讨论无约束优化分式模型信赖域子问题的牛顿点和最速下降点，建立一种求解子问题的简单折线法，研究算法的全局收敛性，并应用于求解一般约束优化问题。其次，通过.循环固定分式模型的分式系数部分,得到求解子问题的新的近似解方法。然后，拟在相互正交的几个方向上多步搜索求得子问题的一个近似解。最后，研究与线搜索法、拟牛顿法相结合的分式模型信赖域混合算法。.分式模型法是一类新的非二次模型法，算法的设计变化多，具有很大的研究空间。本项目的完成将丰富非线性规划的理论和算法，也可为工程技术人员提供新的数值计算方法。

本项目围绕近期人工智能、大数据等重点领域产生的数学问题，如非线性规划、鞍点问题、绝对值方程问题、机制设计问题等数值求解方法展开研究，设计了一些实用的高效算法，证明了算法收敛性并给出了算法复杂度、收敛率等。项目研究期间共发表（被接收）5篇学术论文。.一、 学术研究成果：.1..鞍点问题算法研究：鞍点问题是工程、经济等领域的一个典型数学问题。.a).设计了求解鞍点的SOR算法：给出了求的SOR算法。该算法通过引入交替方向乘子法（ADMM）思想，发表于《计算数学》的论文给出了一种改进的新型SOR算法，提高了算法的效率。.b).设计了求解鞍点问题一阶原始-对偶算法的实用非精确准则：原始-对偶一阶算法是求解大规模鞍点问题的一类有效的、流行的算法，其效率关键在于子问题的求解。设计的弹性的不精确准则，形成了实用的非精确算法。数值结果表明算法是有效的。论文被Mathematics of Computation正式接收。.2..设计了求解变分不等式问题的不定临近点算法：变分不等式问题是一类重要的是一类重要的建模问题，在众多领域有特殊的应用。临近点算法是一类求解变分不等式问题的经典算法，其过程非常简洁，经典的增广拉格朗日算法、交替方向法等都可以看成临近点算法的特例。但经典的临近点算法中，其临近项被限制在“正定”上，使得算法的适用范围有所局限。论突破了该局限，允许临近项是非对称的。在适当的条件下，证明了算法的收敛性，并进一步地分析了算法的收敛率。论文发表于Optimization(在线)。.3..绝对值方程组的研究：绝对值方程组以线性互补问题为特例，是一类应用广泛的问题，受到工程、经济等领域的重视。对该问题进行分析，设计了基于不动点迭代的新算法。新方法较已有方法进行了交大的改进，参数选择范围更广，也具有更优越的数值表现。论文发表于Optimization(在线)。.4..去中心网络排序随机机制设计：给出了新的随机机制设计，分析了其效率。论文发表于Optimization Methods and Software。