分拆统计量秩和c-秩的组合研究

The theory of integer partitions is a promising research area in combinatorics, including partition identities, arithmetics and asymptotics of partition functions. The combinatorics of ranks and cranks of partitions have become one of the most essential research topics in the theory of partitions. Many combinatorial experts pay great attention to this topic, such as G. E. Andrews and F. G. Garvan...This project mainly focuses on the combinatorics of ranks and cranks of certain partitions. The specific contents are as follows..(1).We will explore the definitions, inequalities and moments of ranks and cranks of 2-color partitions and 2-color overpartitions with parameter k..(2).We shall investigate the arithmetic properties of the partition functions for 2-color partitions and 2-color overpartitions by using ranks and cranks..(3).We will further study the spt functions of 2-color partitions and 2-color overpartitions and investigate the relations between the spt functions and the moments of ranks and cranks.

整数分拆理论是组合数学中一个颇有前景的研究领域，主要包括分拆恒等式，分拆函数同余性质以及近似计算等方面。其中分拆统计量秩和c-秩的组合性质是近年来分拆理论中重要的研究方向，得到了诸如美国科学院院士G.E.Andrews，佛罗里达大学教授F.G.Garvan等众多组合学家的关注和重视。. 本项目中，我们主要研究分拆统计量秩和c-秩的组合性质，具体内容包括：.(1)研究带参数k的双色分拆和双色overpartition的分拆统计量秩和c-秩的定义，组合不等式，矩函数等性质。.(2)利用分拆统计量秩和c-秩的生成函数研究带参数k的双色分拆和双色overpartition的同余性质。.(3)研究带参数k的双色分拆和双色overpartition的spt函数及其与分拆统计量秩和c-秩的矩函数之间的关系。

整数分拆理论是组合数学领域中的一个研究热点，而分拆统计量秩和c-秩的组合性质则是近年来分拆理论中重要的研究方向。本项目通过定义几类限制分拆上的分拆统计量秩和c-秩，研究了对应限制分拆的同余性质和组合性质，取得的主要结果如下：(1)定义了限制分拆l-正规overpartition上统一的分拆统计量rl-crank并组合解释了l-正规overpartition函数的一些模2,3,4,6的同余式及两个无穷集族的同余性质；(2)定义了带标号分拆上的分拆统计量d-crank，研究了带标号分拆函数PD(n)的组合性质；(3)通过引入划线带标号分拆上的分拆统计量pdt-rank组合解释了划线带标号分拆函数同余式PD_t(3n+2)≡0(mod3)；(4)构造了双色带标号分拆上的分拆统计量pd-crank并研究了该统计量的差分性质和单调性等；(5)通过构造双色分拆上的分拆统计量pk-crank研究了双色分拆的组合性质。