整数分拆秩的研究

Rank of partitions provides combinatrorial interpretations to Ramanujan’s congruences of partition functions. It plays an important role in the theory of partitions. Recently, after K. Bringmann and K. Ono’s work in 2009, it attracts even much more attention. Because of their close connection with Ramanujan’s mock theta functions ( or mock modular forms), interesting properties of ranks have been proved. This also promotes the theory of mock modular forms. ..In this proposal, we focus on the study of asymptotic formulas and inequalities of the ranks of certain partitions (including ordinary partitions, overpartitions and partitions without repeated odd parts ). To establishing these results, we mainly depends on the “generating function method” and “ Circle Method” . We believe that what we going to discover would lead us to a better understanding of the theory of partitions.

整数分拆的秩从组合数学的角度解释了Ramanujan所发现的分拆函数的同余恒等式，在整数分拆理论中有着重要地位。在其2009年所发表的论文中，K. Bringmann 和 K. Ono 发现整数分拆的秩与Ramanujan的模拟theta函数(又称模拟模形式)之间有着紧密的联系。之后，整数分拆的秩更加引人关注。人们利用模拟模型式理论，发现和证明了整数分拆秩的许多有趣的性质。这些工作同时也推动了模拟模形式这一新生理论的发展。. 本项目中，我们将主要研究几类不同的整数分拆秩的渐进公式及其相关不等式，而“生成函数法”和“圆法”是我们的主要研究手段。. 我们相信这些潜在的成果将极大丰富和完善整数分拆理论。

整数分拆最早由欧拉提出，是解析数论和组合数学方向中的经典课题。整数分拆的秩由F. Dyson在1944年提出，用于从组合数学的角度解析，Ramanujan所发现的关于分拆函数的三个经典的同余恒等式。整数分拆的秩一直以来是这一研究领域最热门的课题之一。特别地，在2006年和2010年，K. Bringmann和K. Ono发表了两篇关于整数分拆秩的重量级论文，人们开始从模拟模型式这一全新的角度来研究来分析整数分拆的秩，从而取得了对整数分拆更为深入认识。. 本项目主要研究整数分拆秩的相关不等式和渐进公式。利用圆法，我们得到了许多不同分拆的秩的渐进公式，例如，M2-rank of partition without repeated odd parts, spt-crank of partitions. 我们利用诸多q-级数恒等式，详细分析，许多整数分拆的秩的生成函数，特别我们研究了spt-crank的生成函数，证明了spt-crank的非负性，利用这一结果，我们得到了关于秩的矩的一些不等式。. 另外，我们还研究了与整数分拆相关的截断函数。截断函数是一个比较新的课题，最早由美国科学院院士G. E. Andrews及其合作者在2012年提出这一概念，他们研究了关于欧拉五边形定理的截断函数，2013年，曾江教授和郭军伟教授研究了关于高斯的三角数和平方数等式的截断函数，实际上这些都是Jacobi三重积公式的特例。我们Chan Song Heng, Thi Phuong Nhi Ho 合作研究了五重积公式的截断函数的一些性质。另外我们推广了上面提到的Andrews， 曾江，郭军伟教授的工作，证明了一个更为普遍的截断函数的恒等式。通过对于这些截断函数的研究，我们还得到了一些列关于分拆函数的不等式。. 通过本项目的研究，我们更加全面的了解了整数分拆和它的秩的性质。