近可积哈密顿动力系统的KAM方法及其应用

KAM theory in Hamiltonian System has been a hot research field of differential equations and dynamical systems for dozens of years. Its enormous achievements in twentieth century in natural science, such as physics, astronomy and mechanics, are quite rare. As a kind of mathematical method, the importance of KAM theory has many international famous mathematicians’ attension. The project will be discussed in the following three aspects:.1. Developing the infinite dimensional KAM method to study the reducibility problem on linear Schrödinger operator. We will discuss 1D and higher dimensional case..2. Based on the finite dimensional KAM theorem of Chierchia and Qian in the smooth case, we give the theorem of infinite dimensional KAM about smooth case. We will apply the theorem to 1D nonlinear Schrödinger equation (specifically divided into bounded and unbounded cases); further, combining with the Toplitz-Lipschitz method it will be applied to PDE, such as the derivative wave equation, K.-G. equation and so on. .3. Developing KAM method to Littlewood boundedness problem, we will prove the boundedness of all the solutions in some second order semi-linear equation which does not satisfy the polynomial condition, and study the nonperturburtive property.

哈密顿动力系统的KAM理论一直是微分方程与动力系统的热门研究领域，其在物理、天文和力学等自然科学中产生的巨大影响在二十世纪的数学成就中是相当少见的．作为一种数学方法，KAM理论本身受到国际上许多一流数学家的重视．本项目将讨论以下三方面的问题：.1.发展无穷维KAM方法，研究线性Schrödinger算子的约化问题。我们将分别讨论空间1维和高维情形。.2. 借鉴Chierchia和 Qian在光滑情形下的有限维KAM 定理，我们将给出并证明光滑情形下的无穷维KAM定理。我们要将所得到的定理应用于1维非线性Schrödinger方程（具体分为有界扰动与无界扰动情形）；进一步，结合Toplitz-Lipschitz 方法，应用到导数波方程、K.-G.方程等PDE。.3. 发展KAM处理解的有界性问题的方法，证明扰动项不满足多项式条件时半线方程解的有界性问题及nonperturburtive性。

哈密顿动力系统的KAM理论一直是微分方程与动力系统的热门研究领域，作为一种数学方法，KAM理论本身受到国际上许多一流数学家的重视。本项目在以下几个方面取得了重要成果。. 在哈密顿PDE的KAM理论方面发表论文3篇：.1） 我们给出了一维时间拟周期线性薛定谔方程的可约性结果[WL17]。创新点在于我们对势函数的要求更弱，仅要对数衰减，而之前的工作都要求幂函数衰减。.2） 我们给出了高维时间拟周期线性薛定谔方程的可约性结果[LW19]。创新点在于我们对势函数的光滑性要求仅为有限阶光滑，不需解析。这是高维情形下为数不多的几个结果之一。.3）.我们给出了时间拟周期一维线性波方程在Dirichlet边值条件下的可约性结果[LW17]。. 在二阶方程（组）周期解与拟周期解的存在性及多样性问题中，我们发表论文4篇；其中.1） 利用相平面分析、扭转不动点定理、变分方法研究二阶方程（组）周期解的存在性及多样性工作[DQWW16，W19-1，W19-2]是本项目组的特色之一。.2） 利用KAM方法研究二阶方程拟周期解存在性及解的有界性问题是本项目组的特色之二。特别的，我们对半线性方程解的有界性讨论引入了新方法[WWP16]。应用此方法，我们可以对超线性、半线性、次线性三类情形下方程拟周期解存在性及解的有界性问题进行统一处理，这是本项目的创新之一。. 此外，在量子等离子体的含时间薛定谔-泊松系统中（SP），项目组成员发表论文1篇[WLL18]。该论文发展了分裂切比雪夫组合（SCC）方法，在每一步时间上，将SP系统约化为两个不耦合的薛定谔方程和泊松方程。. 项目组成员证明了非完整系统的作用极小曲线系统满足耗散拉格朗日系统等价于在通有条件下的接触哈密顿系统。作为基础性研究，文章讨论了接触哈密顿系统的不变量，相流完全性和周期行为等[LTW18]。