非线性泛函分析方法与微分方程边值问题

Nonlinear functional analysis is a research subject of mathematics with profound theoretical significance and wide application, the background of this project is nonlinear problems in mathematics and the natural sciences and aim is to research the methods of nonlinear functional analysis and ( partial ) differential equation boundary value problem. The main contents include: 1. Find and study on processing methods for nonlinear problems, use and combine with existing methods of nonlinear functional analysis to study the properties of solutions for nonlinear operator equations. 2. Numerical simulation models can be described by reaction-diffusion equations, its rigorous mathematical theory needs further development, for this issue we seek new mathematical theory and methods from three aspects: general elliptic boundary value problems, singular perturbation theory and topological methods. 3.Research the existence and nonexistence of ( explosion ) solution ( blow-up, large solution ) , bounded solution and asymptotic behavior of the solution in free boundary for semi-linear or non-linear elliptic equation systems with p-Laplacian operator and with nonlinear gradient term. 4. Study the properties of solutions for nonlocal impulsive semilinear evolution equations by using new methods. 5. Using topological and partial ordering method to research the properties of solutions for differential equations with right-side function being semipositone or unbounded below. 6. Study the properties of solutions for fractional differential equations.7.Study the approximation theory of noncompact operator.

非线性泛函分析是数学中既有深刻理论意义又有广泛应用的研究学科，本课题以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，研究非线性泛函分析方法和（偏）微分方程边值问题。主要内容包括：1.寻找和研究处理非线性问题的一些方法, 利用并结合非线性泛函分析原有的方法研究非线性算子方程解的性质；2.数值模拟的模式可由反应扩散方程来描述，其严格的数学理论却有待进一步发展，围绕这一问题从非常规椭圆边值问题、奇异摄动理论和拓扑方法三个方面寻求新的数学理论和方法；3.研究具有p-Laplacian算子和含有非线性梯度项的半线性或非线性椭圆方程组的（爆炸）解（blow-up、大解）、有界解的存在和非存在性及解在自由边界处的渐近行为；4.利用新的方法研究非局部脉冲半线性发展方程解的性质；5.利用拓扑和半序方法研究右端函数半正或下方无界微分方程解的性质；6.研究分数阶微分方程解的性质；7.研究非紧算子的逼近理论.

非线性泛函分析是数学中既有深刻理论意义又有广泛应用的研究学科，本课题以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，研究非线性泛函分析方法（半序方法、拓扑方法和变分方法）和（偏）微分方程边值问题。寻找和研究处理非线性问题的一些方法, 利用并结合非线性泛函分析原有的方法研究非线性算子方程解的性质，利用他们来研究微分方程和积分方程、偏微分方程和逼近定理。本课题的主要内容包括：1. Banach空间非线性（奇异、脉冲）微分方程和积分方程的研究；2.非线性问题中奇异现象的研究；3.非(半)线性椭圆偏微分方程(系统)径向解研究；4.非局部脉冲半线性发展方程解的存在性研究；5.非线性分数阶微分方程的研究；6.Banach空间非紧算子的逼近定理及其应用研究。目前本课题发表论文120篇，其中被SCI E检索108篇、被EI检索2篇、 国内核心期刊发表10篇。发表高被引论文12篇，成果被引用485次, 他引用272次（Web of Science）。获得山东省自然科学三等奖一项、山东省2014年研究生优秀科技创新成果二等奖1项、山东高校优秀科研成果奖自然科学类二等奖2项；指导蒋继强（2014年，导师：刘立山）的博士论文获山东省优秀博士学位论文；刘立山教授指导毕业了4名博士、14名硕士和3名博士后出站；指导在读博士3名、硕士6名和在站博士后4名。