非线性泛函分析方法在微分方程和逼近理论中的应用研究

Nonlinear functional analysis is a research subject of mathematics with profound theoretical significance and wide application, the background of this project is nonlinear problems in mathematics and the natural sciences and aim is to research the methods of nonlinear functional analysis, nonlinear ( ordinary，partial or fractional order) differential equations and the geometry theory of abstract spaces. The main contents include: 1. Study some kinds of nonlinear evolution equations, in particular, some hyperbolic type equations with nonlinear damping terms, establish some common methods and techniques, derive the sufficient conditions for the finite time blow-up of solutions at high initial energy level and give the upper or lower bounds for the blow-up time; 2. Research on the fractional order differential equations, include (a) using topological and partial ordering method to research the properties of solutions for some fractional order (impulsive) differential equations under the assumptions of singular or resonance, (b) applying the critical point theory to study fractional order (impulsive) differential equations, especially the influence of fractional order to the multiplicity of solutions, (c) studying the existence and properties for the local or global solutions of some kinds of semi-linear fractional order abstract differential equations with not instantaneous impulses; 3. Research on the (generalized) projections in abstract spaces, best approximations involving the non-continuous or non-compact operators, and the problem of optimal reinsurance.

非线性泛函分析是数学中既有深刻理论意义又有广泛应用的研究学科，本课题以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，研究非线性泛函分析方法、非线性（常、偏或分数阶）微分方程问题和抽象空间几何理论。主要内容包括：1.研究一些非线性发展方程，特别是带有非线性耗散项的双曲型方程，建立一些通用的方法和技巧，给出在高初始能量假设下解在有限时间内爆破的充分条件，并且给出爆破时间的上下界估计；2.分数阶微分方程的研究，包括(a)利用半序方法和拓扑方法来研究奇异或共振条件下某些分数阶（脉冲）微分方程边值问题的解及其性质，(b)利用临界点理论研究分数阶微分方程，特别是考察分数阶对解的多重性的影响，(c)研究几类带非瞬时脉冲的非线性分数阶抽象发展方程局部解和整体解的存在性及其性质；3.研究抽象空间的（广义）投影算子理论、非连续非紧算子最佳逼近以及最优再保险问题。

非线性泛函分析是数学中既有深刻理论意义又有广泛应用的研究学科，本课题以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，研究非线性泛函分析方法（半序方法、拓扑方法和变分方法）和（偏）微分方程边值问题。寻找和研究处理非线性问题的一些方法, 利用并结合非线性泛函分析原有的方法研究非线性算子方程解的性质来研究微分方程和积分方程、偏微分方程、发展方程解的性质和最佳逼近问题。主要内容包括：1.创建一些通用的方法和技巧研究一些非线性发展方程的有限时间爆破解；2. 研究非线性分数阶（奇异、脉冲）微分方程解的性质，特别研究几类非线性分数阶抽象发展方程局部解和整体解的存在性及其性质；3.研究抽象空间的（广义）投影算子理论、非连续非紧算子最佳逼近以及最优再保险问题。目前本课题在《J. Differ. Equ.》、《Commun. Contemp. Math.》、《Discrete Contin. Dyn. Syst.》、《J. Optim. Theory Appl.》、《Optimization》、《Bull. Sci. Math.》、《J. Math. Anal. Appl.》、《J. Fixed Point Theory Appl.》、《Appl. Math. Letters》、《中国科学》等学术期刊上发表论文90篇，其中被SCIE检索83篇、国内核心期刊发表6篇。成果被SCIE引用398次，成果被SCIE他引用256次，h-指数 11 （Web of Science）。指导孙奉龙（2019年，导师：刘立山）的博士论文获山东省优秀博士学位论文；刘立山教授指导出站博士后4名、指导博士毕业3名、指导硕士毕业7名；指导在读博士1名和在站博士后3名。