随机波动模型的高阶数值方法

Stochastic volatility models are a class of models that have important applications in various financial markets, in which the Heston stochastic volatility model is particularly attractive. Although many methods have been proposed to simulate the Heston solution, the analysis on their weak convergence rates is a challenging topic. Recently, Zheng(2017) has showed that the weak convergence rate of a numerical scheme for the Heston model is 2. In this project, we will keep on investigating more problems concerning the weak convergence rate of this particular numerical scheme by extending the analysis in Zheng(2017). The problems include the extrapolation for higher-order weak convergence, the analysis of the weak convergence rate under more complicated payoff functions, and so on. Furthermore, we will try to extend the numerical scheme and the analysis for more general stochastic volatility models.

随机波动模型是一类在众多金融市场上有重要应用的模型，尤其是Heston模型。虽然文献中有很多模拟Heston模型数值解的方法，但是如何分析这些方法的弱收敛率是国内外金融数学领域的一个热门课题。我们在Zheng(2017)中证明了Heston模型的一个数值方法具有二阶弱收敛率，该结果发表在 SINUM 上。本项目将在此研究基础上，进一步探索此数值方法的弱收敛率问题。这些问题包括如何利用外推法得到更高阶的弱收敛率，如何分析在更复杂的支付函数下的弱收敛率等。此外，我们还考虑将Heston模型的数值方法与分析扩展到更一般的随机波动模型。

随机波动模型是定价金融衍生品的重要工具，尤其是Heston模型，在金融市场上有广泛的应用。由于绝大多数金融衍生品在Heston模型下的价格没有解析式，因此一类常用的方法是采用Heston模型的离散格式结合蒙特卡洛方法近似计算金融衍生品的价格。虽然文献中有很多Heston模型的离散格式，然而其收敛率通常依赖于模型的参数，尤其是当Feller指数较小时，收敛速度较慢。在这个项目中，我们主要分析并扩展Heston模型的一类弱收敛格式，其具有对全参数成立的不依赖于Feller指数的弱收敛率。首先，我们证明了当payoff函数为Heston过程对数的任意多项式时，误差（衍生品价格的近似值与真实值的差）可以展开成关于时间步长的多项式。这个性质使得我们可以应用外推法构造任意高阶的弱收敛格式；随后，我们将此离散格式与多层次蒙特卡洛相结合得到更高效的弱收敛算法，分析了更复杂payoff函数下的收敛率，并把结果拓展到其他随机波动模型。所有结论均对模型全参数成立。项目成果为随机波动模型的计算提供了更多的高效算法，同时促进了随机微分方程数值理论的发展。