非线性可积系统的精确解及解的动力学性质分析

Investigating the integrability and dynamic behaviors of nonlinear soliton equations plays an important role in the mathematical physics. Based on the Hirota and Darboux transfomation methods, we study the algebraic properties and geometric structure for the exact explicit solutions, such as the Wronskian, Casorati, Pfaffian, Fredholm determinant form solutions, devote to build the solutions of the unified representation theory. Meanwhile creating a general bilinear equation theory; explore bilinear equations,Bell polynomial and linear superposition principle the mathematical connotation relation. A variety of exact solutions and theirs dynamic behavior to the equations by dynamical system method will be revealed.

非线性孤子方程的精确解及其动力学性质是数学物理中一个重要的研究问题.本项目基于Hirota双线性方法、B?cklund变换和Darboux变换方法寻求可积系统的多种精确解，研究孤子系统精确解的代数性质和几何结构，如Wronskian、Casorati、Pfaffian、Fredholm 行列式形式解的表示，致力于构建解的统一表示理论；建立一般的双线性方程理论；探索双线性方程、Bell多项式及线性叠加原理的数学内蕴关系。借助动力系统方法揭示精确解及动力学性质.

孤子方程的可积性和动力学性质是非线性科学中一个十分重要的研究领域。 孤子方程的精确求解不仅具有数学意义而且还有物理实际意义。本项目基于Hirota双线性方法并结合其他方法，研究了孤子系统精确解的代数性质和几何结构，如Wronskian、Casorati、Pfaffian、Fredholm 行列式形式解的表示，致力于构建解的统一表示理论；求解了诸多非线性可积方程的精确解其中孤子解、有理解、Positon、Negaton以及lump、rogue wave解等在内的一系列精确解，从而说明了非线性发展方程解的丰富性和多样性。基于Hirota双线性方法，提出了正定二次函数方法构造lump 解，通过符号计算，研究了包括KP方程、BKP方程、2+1维Ito方程、4+1维Fokas方程的lump 解以及碰撞解。推广Hirota双线性方法，建立了一般的Hirota双线性方程理论。具体地推广了Hirota双线性导数定义，并以此推得了类KdV、 类KP、类Boussinesq方程的有理解和类(2+1)-维 KdV方程的Bäcklund变换； 探索了Hirota双线性方程与线性叠加原理的数学内蕴关系。借助动力系统理论和方法讨论了非线性发展方程多种精确解及其相应的动力学行为；考虑了孤子方程的可积耦合问题，为构造新的可积系统提供了新的思路和途径。研究了几个可积系统的可积耦合、双可积耦合和双Hamiltonian结构问题；讨论了孤子方程族的代数几何解的Riemann theta函数表示问题。利用孤子方程族的Lax矩阵的线性组合，引入特征方程的三角曲线，讨论了亚纯函数的一般性质，具体地分析了3*3矩阵谱问题的代数几何解的构造。特别考虑了so(3,R)型李代数可积系统的应用问题。