三类可积系统解的动力学性质研究

The objective of this project is to investigate the dynamical properties of solutions for the Novikov, Camassa-Holm and Degasperis-Procesi equations, which are integrable and possess strong physical background. The study of these three equations is one of key topics in the area of mathematical physics. Although lots of research results for the three equations have been obtained, we know that some unknown dynamical problems for the equations need to be solved. We will further investigate various dynamic behaviors for the Novikov, Camassa-Holm and Degaspris-Procesi equations,including the stabilities of local or global strong (weak) solutions in certain spaces, blow-up solutions and the stability of solitary wave solutions in suitable spaces.

本申请项目主要研究Novikov方程、Camassa-Holm浅水波方程和Degasperis-Procesi浅水波方程解的某些动力学性质. 这三类非线性方程是可积的并具有很强的物理背景, 是目前数学物理领域非常活跃的研究模型. 虽然国内外学者对这三类方程已经做了大量的研究并取得了很多有意义的成果，但是还存在一些有待解决的问题. 我们将进一步研究Novikov方程、Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程解的动力学行为，包括在较弱条件下，其强弱解在特定空间的局部或渐近稳定性、爆破解、孤波在特定空间的稳定性等.

要完全明白浅水波的运动和其动力学性质是各国数学家、物理学家和工程学家面对的挑战性难题. 我们研究了三类具有可积性的浅水波系统, 具体的说, 是研究 Camassa-Holm、 Degasperis-Procesi、 Novikov 三类可积系统及其相关方程解的动力学性质: 包括在适当空间中, 弱解的存在性、 局部强解、 整体强解的存在性与唯一性、 解的爆破准则、 解的传播速度、 解的优化控制、 同时也探讨所研究方程中的系数对解的影响. 在适当假设条件下, 推导出了解的相关先验估计和解关于空间导数的有界性. 从2014年8月, 我们得知该项目获得了国家自然科学基金资助后, 团队成员很快开展了该项目的研究工作. 在浅水波传播与运动数据收集、利用计算机进行数据分析和数据归纳时, 发现了所研究的可积系统的解都在临近尖峰孤立子出现时, 波的传播突然不按一般的规律运动, 使得其数学中定义的能量变成无穷大, 在这种情形下, 我们研究了其广义条件下解的爆破准则. 由于在推广了的三类可积系统中, 有些不存在能量守恒等式, 这为要得到所需先验估计带来了困难, 团队成员克服了一些所遇到的问题, 使用现代数学工具, 推导出了所需要的先验估计, 进一步研究了广义Camassa-Holm 方程, 广义Degasperis-Procesi方程和广义Novikov方程解的动力学性质. 到2018年底, 我们完成了本项目申请书的研究计划, 得到了预期的研究成果.