埃尔米特对称型李群的最高权(g,K)-模

Let G/K be a non-compact Hermitian symmetric space. G is called a Hermitian symmetric Lie group. The study of the highest weight (g,K)-modules of G (especially unitary highest weight modules) is very important in representation theory of Lie groups. Since 1960's, Gelfand-Kirillov dimension has become an important invariant in the study of infinite-dimensional algebraic structures. In this project, we mainly study the GK-dimesnions of highest weight (g,K)-modules of G and minimal representations. Firstly, by generalizing Joseph's work about associated varieties, we study the GK-dimensions of non-unitary highest weight (g,K)-modules of Hermitian symmetric Lie groups. Secondly, we reconstruct the Lie algebras of Hermitian symmetric Lie groups by Hermitian Jordan triple systems, then generalize the quadratic relation which can characterize the minimal representations of unitary highest weight (g,K)-modules. Finally, we want to give a formula about the GK-dimesions of highest weight (g,K)-modules of Hermitian symmetric Lie groups.

对于非紧的埃尔米特对称空间G/K, G称为是埃尔米特对称型李群。G的最高权(g,K)-模特别是酉表示在李群表示中具有很重要的研究价值。从上世纪六十年代开始，Gelfand-Kirillov维数逐渐成为数学家们研究无穷维代数结构大小的一个重要不变量。本项目主要研究埃尔米特对称型李群的最高权(g,K)-模的GK维数和极小表示。首先我们通过推广Joseph关于关联代数簇的工作，研究不可酉化的最高权(g,K)-模的GK维数。其次，通过研究埃尔米特型约当三元组，我们构造出所有类型的埃尔米特对称型李群的李代数，从而找出一个二次关系式来刻画具有极小GK维数的可酉化最高权(g,K)-模。最后，我们希望能给出埃尔米特对称型李群的最高权(g,K)-模的GK维数的一个统一公式。

Gelfand-Kirillov 维数是李群表示论中当中一个非常重要的不变量，主要用来刻画无穷维表示的大小。本文主要研究埃尔米特对称型李群的最高权(g,K)-模的GK维数和极小表示的刻画。通过研究Lusztig教授定义的Weyl群上的a-函数的计算问题，我们成功的找到了A型李代数的最高权模的GK维数的计算方法，并把我们的算法应用到经典型李群SU(p,q)的最高权(g,K)-模的GK维数和伴随代数簇的刻画。我们成功得到了A型李代数的极小表示的最高权刻画和伴随代数簇的描述。我们还发现数量类型的增广Verma模是不可约的当且仅当它的GK维数在同一类抛物范畴中是相对最大的。最后我们发现发现两个最高权模L_w和L_w’具有相同的伴随代数簇当且仅当w和w’是右胞腔等价的。