一般二次厄米特群的K1群

Classical groups and its K-theory is an important area of mathematics. In 2012, Bak introduce the notion of quadratic-Hermitian space which generalizes all previous algebraic concepts of quadratic and Hermitian form on modules. Correspondingly, the automorphism groups of quadratic-Hermitian space, i.e. general quadratic-Hermitian groups, generalize all previous notions of classical-like groups. In this project, we will study structural questions for general quadratic-Hermitian K1 groups. Firstly, we will give the definitions of general quadratic-Hermitian groups and its elementary subgroups, and prove normality of elementary subgroups. Secondly, after getting decomposition theorem of elementary subgroups, we prove stability theorem of general quadratic-Hermitian K1 groups. Finally, combining Bak's localization-completion method with Stein's relativization, we study nilpotency of general quadratic-Hermitian (relative) K1 groups. By studying essential questions, such as structural questions for general quadratic-Hermitian K1 groups, this project will promote further development of classical groups theory.

典型群及其相应的K理论是非常重要的数学领域。Bak在2012年引入了二次厄米特空间的概念的概念，推广了之前所出现的所有的模上的二次型和厄米特型的概念。相应地，二次厄米特空间上的自同构群(即一般二次厄米特群)推广并统一了之前所出现的所有典型群的概念。本项目拟研究一般二次厄米特群的K1群的结构。首先，给出一般二次厄米特群及其初等子群的定义，并证明初等子群的正规性。其次，通过对初等子群的分解，证明K1群的稳定性定理。最后，结合Bak的局部完备化方法及Stein的相对化方法，研究一般二次厄米特群的(相关)K1群的幂零性。本项目通过对一般二次厄米特群的K1群的结构等核心问题进行研究，推动典型群理论的进一步发展。

奇酉群（包含于一般二次厄米特群）统一并推广了之前出现的所有典型群的概念。对奇酉群的结构的研究不仅可以提供之前的典型群的共同研究方法，而且可以为后续研究一般二次厄米特群的相关问题提供基础。本项目研究了奇酉群的K1群的单稳定性、幂零性以及子群的分类。主要研究成果包含以下3个方面：第一，证明了一般稳定秩条件下K1群的单稳定性。第二，给出了模有限环上K1群的幂零性的相关结论，部分回答了Bak等人在文章 Localization-completion strikes again: Relative K1 is nilpotent by abelian 中的一个问题。第三，得到奇酉群的各类子群的三明治分类定理，推广了已有的相关结果。本项目基本完成预定目标，在期刊Communications in Algebra 上发表论文2篇，并有1篇论文正在撰写。