非线性色散方程的长时间行为

This proposal focuses on two types of problems. One is the kind of long time dynamics for finite energy solutions of wave equation, in particular wave equations with potential and wave equation in higher dimensions. The applicant has done a number of related works on such topic, thus he is familier with the current techniques. He will explore the method of Duyckaerts-Kenig-Merle while also analyzing the key limitation for each problem. He proposes to introduce new techniques and point of view to these problems. A second type of problem is the study of stability of solitons for Chern-Simons-Schrodinger system. This model has some similarity with the Schrodinger map problem, yet there are key differences. The applicant will compare and analyze the differences, as well as the difficulties brought along by such difference. The main problem is to construct new types of energy function, and also consider dispersive estimate for problems with zero eigenvalue and zero resonance. ..All these problems come from physics, they hence have very deep meaning both theoretically and practically.

此次项目专注在两类问题，一类是波方程任意有限能量解的长时间动态，主要是对于带位势和高维波方程来验证孤立子猜想。 申请者在之前有一系列与此相关的工作，并且已经熟悉了最新的技术，将在借鉴Duyckaerts-Kenig-Merle的一系列工作的同时，深刻分析每一个具体问题的限制，引入新的技术； 第二类问题是Chern-Simons-Schrodinger系统的孤立波的稳定性研究，此类问题与Schrodinger映射有一定的共通性，但也有本质的区别。申请者将分析和比较两类问题的差别，以及这些差别带来的本质困难，主要是如何考虑新的能量泛函和在有零特征值和零共振情况下如何解决色散估计的问题。..这两类问题都是来自于物理模型，有着重要的理论和实践意义。

此次研究项目主要是基于近年来国际上关于色散方程研究的热点和重点，希望做出一些自己的贡献。具体来讲，我们主要是关注解的长时间行为，特殊解的稳定性的精细刻画等问题。 这些问题的本质都是对于大初值解的研究，这在偏微分方程的研究中一直是重点和难点，通常需要新的想法和技术。对于带位势的非线性波方程，我们成功的给出了所有整体解的长时间刻画，并且构造了不稳定态解所对应的整体中心流形。 在这个过程中我们引入了新的方法，使得这类结果可以由之前的球对称情形推广到一般情况。这为我们更好的理解一般方程的长时间动态行为和孤立子分解猜想提供了更多的理论支持。