非定常弹性力学问题的自适应时空有限元方法

High performance numerical solution for unsteady elastic problems is an important research direction in scientific computing. In this project, for the system of Lame equations with the velocity as unknowns and the Kirchhoff plate bending equation with the deflection as an unknown, we propose several space-time finite element methods for solving them, where the first/second order continuous Galerkin method is used in time, the velocity is discretized by conforming elements or the Crouzeix-Raviart nonconforming element, and the deflection is discretized by the (modified) Morley element or Adini and other rectangular elements. In view of some higher order reconstruction operators for second order evolution equations due to the applicant, and using the technique of elliptic reconstruction and the energy method, we are going to derive the reliable a posteriori error estimates for the previous finite element methods. Based on these estimates, we manage to devise the corresponding adaptive space-time finite element methods. Furthermore, we conduct numerical simulation and develop theoretical analysis for these methods to illustrate their numerical performance and efficiency. If the second order continuous Galerkin method is used in time, we require to solve a linear system with the coefficient matrix consisting of nonstandard 2x2 block structure. Hence, we intend to develop some preconditioned GMRES/MIRES methods to solve such kind of systems efficiently. The research objective in this project is at the international leading level in the context of adaptive finite element methods, with wide prospect in applications.

非定常弹性力学问题高性能数值解是科学计算领域的重要研究方向。本项目拟对以位移场为未知量的非定常拉梅方程组和以挠度场为未知量的非定常克希霍夫板弯方程，在时间方向采用一次或二次连续伽辽金方法进行离散，在空间方向对位移场采用协调元或Crouzeix-Raviart非协调元进行离散而对挠度场采用Morley元、修正Morley元或Adini元等矩形元进行离散，获得相应时空有限元数值解法。基于项目申请人提出的二阶发展方程的高阶重构算子，使用椭圆重构技巧和能量方法，导出这些有限元全离散方法的可靠后验误差估计，进而构建相应的自适应时空有限元方法，并进行数值模拟和收敛性分析。考虑到在时间方向采用二次连续伽辽金方法进行离散时，要求解一个非标准的2x2块结构线性方程组，因此还将构建高效预处理GMRES/MINRES方法来求解该问题。本项目研究内容和目标在自适应有限元领域属国际前沿，且应用前景广泛。

（1）以波动方程为研究对象，提出C0P1和C0P2时空全离散有限元方法。借鉴已有研究成果巧妙构建椭圆重构算子，基于椭圆重构技巧和能量方法，建立了以上方法稳定后验误差估计并导出自适应有限元方法。数值实验结果令人满意。该研究方法适用于一大类发展方程的相应研究，比如与定常拉梅方程组和定常克希霍夫板弯方程有限元方法的后验误差估计相结合，可以导出相应非定常拉梅方程组和非定常克希霍夫板弯方程时空全离散方法的后验误差估计并构建自适应有限元方法。本专题研究难度大，取得成果创新性强。..（2）对于规则空间区域上时间方向任意阶导数的半线性发展方程，在空间方向使用四阶紧致差分格式离散，通过FFT将其化为便于求解的常微分方程组，使用Duhamel原理导出该问题显式解，然后对非线性项使用多步逼近近似并对相应积分进行显式计算，最终获得一类快速紧致时间积分高效数值求解方法。系列数值模拟实验验证了算法的高效性。同时提出求解带Neumann边界条件半线性抛物型方程的一类高精度ETD方法，解决了论文Zhu-Ju-Zhao (2016)中提出的一个公开问题。..（3）在时间方向采用C0Pm方法离散，在空间方向采用一类非协调元离散，获得求解非定常弹性力学问题关于Lamé系数稳健的时空全离散方法。相关研究在国际上居于领先地位。在虚拟元方法的理论与应用和求解一类非线性鞍点问题的广义Arrow-Hurwicz方法的构造与收敛率分析等方面也取得重要成果。..共计发表学术论文21篇，其中在Journal of Computational Physics、Journal of Scientific Computing、Applied Mathematics Letters、Journal of Computational and Applied Mathematics、Applied Numerical Mathematics和Communications in Computational Physics等科学计算领域有重要影响的学术刊物正式发表SCI论文16篇，并在线发表SCI论文1篇。以本项目成果为内容在第八届世界华人数学家大会上做邀请报告（45分钟）。基本完成项目拟定计划和目标。