若干空间周期和对称发展方程的动力学及其空间模式的研究

This project aims to investigate the impact of the nonlinear degree and spatial factors on the dynamics and the spatial patterns of some evolutionary equations under various spatially periodic and symmetrical factors. It contains two main topics. (I) We will consider the global asymptotic behavior and the existence of periodic travelling waves in non-monotone dynamical systems with periodic invariant translation. The theoretical results will be applied to spatially periodic cases to obtain the asymptotic behavior and the existence of periodic travelling waves for non-monotone evolution equations including delay reaction diffusion equations, delay lattice differential systems and nonlocal delayed feedback differential equations. (II) When the domain is unbounded and symmetrical, for bistable delay reaction diffusion equations, we will establish the existence and multiplicity for non-ground steady-state solutions and describe their shape and attraction domain, by which, we hope to reveal the intrinsic relation between the spatial patterns in the dynamical behavior and the symmetry, non-locality, non-monotonicity, bistability of the spatial factors.

本项目拟研究若干含有周期和对称空间因素的发展方程的非线性程度与空间因素对方程的动力学性态及其空间模式的影响，具体研究从两方面开展：I．建立非单调空间周期平移不变动力系统的全局渐近性及周期行波解的存在性，用之来获得在周期空间因素下非单调的时滞反应扩散方程、时滞格上动力系统和非局部时滞反馈微分方程的周期行波解的存在性及渐近性；II．研究对称无界区域上双稳时滞反应扩散方程的非基态稳态解的多重性，并刻画其形状和吸引域，从而揭示空间因素的对称性、非局部性及方程的非单调性、双稳性与动力学性态的空间模式之间的内在联系。

发展方程的动力学性态及其空间模式与空间因素的周期性、对称性、不可平移性、非局部性、非单调性以及多稳性之间内在联系是非常重要研究课题。本项目集中研究了渐近传播问题、阈值动力学、对称蕴含动力学复杂性问题以及非局部椭圆方程正解唯一性与多重性问题。首先, 提出行波映射迭代方法研究了几类发展方程在区域边界或内部分界点处的Dirichlet 条件或非均匀迁移环境下的渐近传播问题。其次,提出区域分解方法，并发展了热核-反应核的迭代估计方法来研究几类新型发展方程的阈值动力学。再次，提出扩散核迭代估计或抛物收缩/扇形-滑动方法集中研究扇形区域/圆盘/平面上双稳发展方程的非基态稳态解的多重性、形状及吸引域。最后，建立了低维欧式空间上一类非局部椭圆方程正解的唯一性等。总之，项目的研究解析了几类发展方程的不可(包括周期)平移性、对称性、非局部性、非单调性、多稳性对于动力学性态的空间模式的若干影响机制。本项目的研究发展和丰富了发展方程的理论与研究方法，具有潜在的应用价值和重要的科学意义。