若干生物数学中的偏微分方程的定性理论

This project is concerned with a class of partial differential equations coming from mathematical biology, we mainly investigate the global existence, blow up, and large time behavior of chemotaxis model, coupled chemotaxis-haptotaxis model with remodelling mechanism, tumor growth and therapy model, and coupled chemotaxis-fluid model. These systems play important role in characterizing the movement of cells, the growth of the tumors, the survival and competition of the population. The theoretical research of these models with distinct biological background will help people to study and explain some biological phenomena deeply, which has far-reaching significance for the development of mathematics and biology.

本项目主要研究一些来源于生物数学中的偏微分方程，内容主要涉及到趋化模型，具重塑机制的趋化趋触耦合模型，具治疗机制的肿瘤模型以及趋化流体耦合模型解的整体存在性，爆破性质，长时间渐近行为等适定性理论。这些方程在刻画细胞运动，肿瘤增长，种群的生存与竞争等生物学现象中起着重要作用。对这些具有鲜明的生物学背景的模型的理论研究也必将帮助人们更深入的研究和解释一些生物现象，对数学和生物学的发展都具有深远的意义。

该项目主要开展了具鲜明生物及医学背景的趋化及其耦合模型解的定性理论研究。重点研究了一类趋化-趋触模型解的整体适定性理论及其周期动力学行为， 趋化流体耦合模型解的整体适定性理论及周期斑图的形成机制，以及具时滞的退化扩散方程的行波解问题。在该项目的实施过程中，我们按照研究计划开展了全面的研究，取得了一系列研究成果，完成了预期目标。取得的部分成果如下：.1.研究了Chaplain 和Lolas 提出的两类趋化-趋触耦合模型，对模型I证明了解的整体适定性理论，且证明了解在经典意义下是一致有界的，这类结果对于具ECM重塑机制的趋触模型以往是未曾得到过的。对于模型II，研究了三维情形平衡点附近小扰动的初边值问题强解的整体存在性，渐近稳定性。此外，利用一个稳定性的证明框架也证明了周期解的存在性，并得到了其周期吸引集。.2.研究了Franssen et al. 等人提出的癌细胞转移扩散模型，证明了二维情形解的整体存在性，一致有界性，并得到了解的全局渐近稳定性结论，且二维情形有界解的存在性本质上改进了Perthame等人（Perthame, Vasseur, Commun. math. sci., 2012）的小初值的结果。.3.研究了具volume-filling效应和渗流扩散的癌侵袭模型， 对三维渗流快、慢扩散的所有情形完美解决了解的整体存在性及有界性问题。.4.考虑了具慢扩散效应的趋化流体耦合模型解的整体存在性及一致有界性。对具渗流慢扩散情形完美解决了解的整体存在性及一致有界性问题，对具非牛顿渗流慢扩散的模型部分解决了解的整体存在性及一致有界性问题，本质上改进了已有的结论。.5.研究了具非齐边界条件的趋化流体耦合模型的周期解问题， 这类模型的周期解存在性的研究搭建了一个完整的研究框架，并利用拓扑度技巧排除了细菌密度为常值的解，确立了周期斑图存在性。