一类非线性发展方程的定性理论

This project is concerned with a class of nonlinear evolutionary equations coming from physics, biology, chemistry, continuum mechanics and so on. The research content involve the aspect such as the traveling wave solutions for a class of nonlinear diffusion equations, the time evolution of an initial singularity and the large time behavior，the time periodic solutions for the compressible Navier-Stokes equations, global well-posedness for compressible viscoelastic fluids , the related theory of fractional diffusion equation, these problems are always the focus and difficult issues.To characterize this class of equations, it requires not only the classical theory of partial differential equations, but also need to select appropriate research framework and theoretical tools，and even have to constantly expand and improve the prior tools and methods. The research of this project will provide valuable preferences for explaining some actual phenomena, and will enrich and perfect the theory of partial differential equations.

本项目旨在研究来源于物理学、生物、化学、连续介质力学等领域的一类具有鲜明的物理背景的非线性发展方程，。研究内容主要涉及到一类非线性扩散方程的一维及多维行波解问题、奇异初值解的发展趋势、可压Navier-Stokes方程的周期解问题，粘弹流方程解的长时间渐近行为，以及分数阶扩散方程解的相关理论研究. 这些都是目前人们所关注的热点、难点问题。刻画这类方程不仅需要经典的偏微分方程理论知识，并且需要根据不同的方程选择合适的研究框架和理论工具，甚至需要研究工具和方法的不断拓展和创新。本项目的研究不仅能对于解释某些实际现象提供一定的参考价值，而且研究方法与结果也将在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论。

本项目主要开展了具鲜明物理背景及生物背景的非线性发展方程解的一些定性理论的研究工作. 重点研究了Navier-Stokes 方程的周期解问题，具时滞的退化扩散方程的行波解问题，趋化及其耦合模型解的一般定性理论, 可压液晶流系统的稳态解及周期解, 分数阶方程解的存在性，非散度型扩散方程的自相似奇异解等问题。在本项目的实施过程中，我们按照研究计划开展了全面的研究，完成了研究目标，取得了一系列研究成果.如：. (1)我们对于具消耗机制的Keller-Segel模型3D空间解的整体存在性及一致有界性的研究[JDE，2017]本质上改进了Winkler等多位数学工作者的结果[DCDS,2010; Ann. I. H. Poincare AN, 2013; CVPDE, 2015; JDE, 2018]，部分解决了Winkler提出的公开问题。. (2) 我们确立了2维及3维空间具重塑机制的趋化-趋触耦合模型解的整体存在性及一致有界性。我们对二维的情形的研究本质上完善补充了Tao，Winkler[5]以及Wang[7]的工作。另外，我们对三维情形的研究在此之前也是未曾有人触及的。. (3)具时滞的退化扩散模型行波解的存在性及稳定性。该项研究是具时滞的退化方程所见到的第一个研究框架[J. Nonlinear Sci., 2018]。. (4) 对3D可压Navier-Stokes方程的周期解存在性这一公开问题取得了实质性的进展 [JDE，2015; J. Math. Phys., 2015]，我们文中所用的方法和技巧被一些作者多次系统引用。. (5)对趋化-流体耦合模型的周期解存在性给出了一个完整的研究框架。这也是对于趋化流模型周期解方面的第一个结果[Math. Nachr.2017; Z. Angew. Math. Phys, 2017]。